Johann Bernoulli I.: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m dp+
dp+
Vrstica 5:
== Življenje in delo ==
 
Johann je bil mlajši [[Jakob Bernoulli I.|Jakobov]] brat in oče [[Daniel Bernoulli|Daniela]], [[Nicholas Bernoulli II.|Nicholasa II.]] in [[Johann Bernoulli II.|Johanna II.]]. Poučeval je tedaj mladega [[Leonhard Euler|Euler]]ja, ki je kmalu postal zelo slaven matematik. Bernoulli je bil znan po ljubosumnosti. Zaradi ljubosumnosti do sina Daniela je vzel vse zamisli iz sinove knjige ''Hidrodinamika'' in jih uvrstil v svojo knjigo.
Johann je bil mlajši [[Jakob Bernoulli I.|Jakobov]] brat in [[Daniel Bernoulli|Danielov]] oče.
 
Najel ga je [[Guillaume de l'Hôpital|l'Hôpital]] da ga je učil matematike. Bornoulli in l'Hôpital sta podpisala dogovor, po katerem je lahko l'Hôpital koristil Bernoullijeva odkritja po mili volji. L'Hôpital je leta [[1696]] izdal prvo knjigo iz [[matematična analiza|analize]], kjer je večino odkril in razdelal že Bernoulli, kamor spada tudi reševanje [[limita funkcije|limit funkcije]] [[nedoločeni izraz|nedoločenih izrazov]] kot sta 0/0 in <math>\infty /\infty</math>, in kar je danes znano kot [[l'Hôpitalovo pravilo]].
Leta [[1691]] je študiral [[eksponentna funkcija|eksponentno funkcijo]] in uvedel študij [[trigonometrična funkcija|trigonometričnih funkcij]] v [[matematična analiza|analizo]]. Brata sta v neprestanih sporih in matematičnih dvobojih postavljala začetke novega poglavja matematike, [[variacijski račun|variacijskega računa]]. Že [[Galileo Galilei|Galilei]] je ugotovil, da potrebuje drobno [[telo]] za [[pot]] iz [[točka|točke]] v nižjo točko v navpični ravnini krajši [[čas]], če se giblje po [[krožnica|krožnici]] kot po [[premica|ravni črti]]. Mislil je, da je glede tega krožnica sploh najugodnejša [[matematična krivulja|krivulja]]. S svojo zmoto je usmeril pozornost k najugodnejši krivulji, ki so jo poimenovali ''[[brahistrokrona]]'' (''brahistohrona''), to je krivulja z lastnostjo, da pade po njej telo iz prve točke v drugo nižjo točko v najkrajšem času. Med letoma [[1696]] in [[1697]] so o njej razpravljali [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] in brata Bernoulli. Postavimo izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo ''x'' in navpično osjo ''y'' v začetno lego drobnega telesa. Po [[Christiaan Huygens|Huygensovi]] enačbi ali po [[izrek o kinetični in potencialni energiji|izreku o kinetični in potencialni energiji]] je:
 
Leta [[1691]] je Bernoulli študiral [[eksponentna funkcija|eksponentno funkcijo]] in uvedel študij [[trigonometrična funkcija|trigonometričnih funkcij]] v [[matematična analiza|analizo]]. Brata sta v neprestanih sporih in matematičnih dvobojih postavljala začetke novega poglavja matematike, [[variacijski račun|variacijskega računa]]. Že [[Galileo Galilei|Galilei]] je ugotovil, da potrebuje drobno [[telo (fizika)|telo]] za [[pot]] iz [[točka|točke]] v nižjo točko v navpični ravnini krajši [[čas]], če se giblje po [[krožnica|krožnici]] kot po [[premica|ravni črti]]. Mislil je, da je glede tega krožnica sploh najugodnejša [[matematična krivulja|krivulja]]. S svojo zmoto je usmeril pozornost k najugodnejši krivulji, ki so jo poimenovali ''[[brahistrokrona]]'' (''brahistohrona''), to je krivulja z lastnostjo, da pade po njej telo iz prve točke v drugo nižjo točko v najkrajšem času. Med letoma [[1696]] in [[1697]] so o njej razpravljali [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] in brata Bernoulli. Postavimo izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo ''x'' in navpično osjo ''y'' v začetno lego drobnega telesa. Po [[Christiaan Huygens|Huygensovi]] enačbi ali po [[izrek o kinetični in potencialni energiji|izreku o kinetični in potencialni energiji]] je:
 
: <math> {1\over 2} mv^2 - m g y = 0 \!\, . </math>
Vrstica 23 ⟶ 25:
strani ''x''. Hitro ugotovimo, da je:
 
: <math> \begin{align}
ds &= \sqrt{ \left( {dx\over d\varphi} \right) ^2 +
\left( {dy\over d\varphi} \right) ^2 } d\varphi =
\sqrt{r^2 (1 - \cos \varphi)^2 + r^2 \sin^2 \varphi} d\varphi =
\sqrt {2r^2 (1 - \cos \varphi) } d\varphi \\
&= \sqrt{2ry} d\varphi \!\, \end{align} </math>
 
in čas:
Vrstica 32 ⟶ 36:
: <math> t = \sqrt{r\over g} \varphi \!\, . </math>
 
Bernoulli je prispeval k rešitvi naloge za ta primer in velja za začetnika variacijskega računa. Splošno nalogo za brahistokrono je rešil leta [[1774]] [[Leonhard Euler|Euler]]. Cikloida je na primer tudi tavtokrona krivulja, to je krivulja, po kateri niha [[točkasto telo|masna točka]] ali kroglica z [[nihajni čas|nihajnim časom]], ki ni odvisen od [[amplituda|amplitude]] njenega [[nihanje|nihanja]], katero je leta [[1673]] raziskal Huygens.
 
Leta 1697 je odkril [[enakost]]i, ki se včasih imenujeta [[sanje nezrelega]].