Limita funkcije: Razlika med redakcijama

dodanih 15 zlogov ,  pred 14 leti
m
dp
m (dp)
Limita funkcije v točki ''a'' je enaka funkcijski vrednosti ''f(a)'', če in samo če je funkcija v točki ''a'' [[zveznost|zvezna]].
 
== Matematična definicija ==
 
Limita funkcije je definirana s pomočjo [[limita zaporedja|limite zaporedja]].
 
Naj bo ''f'' realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo [[zaporedje]] ''x<sub>n</sub>'', ki ima [[limita zaporedja|limito]] ''a''. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti ''y<sub>n</sub>''&nbsp;=&nbsp;''f(x<sub>n</sub>)''. Če ima dobljeno zaporedje ''y<sub>n</sub>'' limito ''b'' in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje ''x<sub>n</sub>'', ki gre proti ''a'', potem število ''b'' imenujemo limita funkcije ''f'' v točki ''a''.
 
== Računanje limite ==
=== Krajšanje ===
 
V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni ''a''.
 
Zgled: funkcija <math>f(x)=\frac{x^2-9}{4x-12}</math> pri ''x'' = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito:
 
: <math>\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{4x-12}= \lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x+3)}{4(x-3)}= \lim_{x\to3} \frac{x+3}{4} = \frac{3+3}{4} =\frac{3}{2}</math>
 
Torej za zgornjo funkcijo velja: če se ''x'' približuje vrednosti 3, se ''f(x)'' približuje vrednosti 3/2.
 
== L'Hôpitalovo pravilo ==
 
Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je [[Ll'Hôpitalovo pravilo]]. Če se števec in imenovalec funkcije oba približujeta vrednosti 0 (ko gre ''x'' proti ''a''), potem lahko števec in imenovalec odvajamo in velja:
 
:<math>\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}</math>
 
Zgled za uporabo Ll'Hôpitalovega pravila:
 
: <math>\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=\frac{\cos 0}{1} = 1 </math>
 
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]]