Riemannova sfera: Razlika med redakcijama

[[Slika:Stereographic projection in 3D.png|thumb|right|200px|Riemannovo sfero si lahko predstavljamo kot [[kompleksna ravnina|kompleksno ravnino]] napeto okrog [[krogla|krogle]] s kakšno vrsto [[stereografska projekcija|stereografske projekcije]]]]

[[Slika:Riemannova koule.png|thumb|right|200px|Prikaz projekcije kompleksnega števila <math>z</math> s kompleksne ravnine v točko <math>z'</math> na Riemannovi sferi]]

 

: <math> \frac{1}{0} = \infty \!\, </math>

 

 

Na čisto [[algebra|algebrskem]] nivoju kompleksna števila z dodatnim elementom v neskončnosti tvorijo množico razširjenih kompleksnih števil. Računanje z neskončnostjo ne sledi običajnim algebrskim pravilom in zaradi tega razširjena komplesna števila ne tvorijo [[obseg (algebra)|obseg]]. Vendar se Riemannova sfera geometrično in analitično vede lepo celo blizu neskončnosti, saj je enorazsežna [[kompleksna mnogoterost]] (Riemannova ploskev).

[[intuicija|Intuitivno]] prehodne preslikave nakazujejo kako zlepiti dve ravnini skupaj, da tvorija Riemannovo sfero. Ravnini sta zlepljeni na način »od znotraj navzven«, tako da se skoraj povsod prekrivata, vsaka od ravnin pa ima točko (svoje izhodišče), ki je druga nima. Rečeno drugače, (skoraj) vsaka točka na Riemannovi sferi ima obe vrednosti, <math>\zeta</math> in <math>\xi</math>, obe vrednosti pa sta povezani z izrazom <math>\zeta = 1 / \xi</math>. Točka, kjer je <math>\xi = 0</math>, mora potem imeti vrednost <math>\zeta</math>, ki je »<math>1 / 0</math>«. V tem smislu izhodišče karte <math>\xi</math> igra vlogo »<math>\infty</math>« v karti <math>\zeta</math>. [[simetrija|Simetrično]] igra izhodišče karte <math>\zeta</math> vlogo <math>\infty</math> glede na karto <math>\xi</math>.

 

 

Na drugi strani izrek o uniformizaciji, temeljnem pojmu klasifikacije Riemannovih ploskev, pravi, da so edine enostavno povezane enorazsežne kompleksne mnogoterosti kompleksna ravnina, [[hiperbolična ploskev]] in Riemannova sfera. Od teh je edino Riemannova sfera [[zaprta mnogoterost|zaprta ploskev]] (kompaktna ploskev brez meje). Zaradi tega dvorazsežna sfera dovoljuje, da se lahko edina kompleksna struktura pretvori v enorazsežno kompleksno mnogoterost.