Primitivna funkcija: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
+
+nekatere primitivne funkcije
Vrstica 1:
'''Primitívna fúnkcija''' ali '''prvôtna fúnkcija''' dane (izvorne) [[funkcija|funkcije]] <math>f(x)</math> je v [[infinitezimalni račun|infinitezimalnem računu]] in [[matematična analiza|matematični analizi]] funkcija <math>F(x)</math>, katere [[odvod]] je enak <math>f(x)</math>:
 
: <math> F'(x) = f(x), \quad \forall x \in \R \!\, . </math>
 
Postopek reševanja za primitivne funkcije je iskanje [[nedoločeni integral|nedoločenega integrala]]. Primitivne funkcije so povezane z [[določeni integral|določenimi integrali]] prek [[osnovni izrek analize|osnovnega izreka analize]] in omogočajo primerne načine za računanje določenih integralov mnogih funkcij.
 
== ZgledZgledi ==
 
Funkcija <math>F(x) = x^{3}/3</math> je primitivna funkcija od <math>f(x) = x^{2}</math>. Ker je odvod [[konstanta|konstante]] enak [[0]], bo za <math>x^{2}</math> obstajalo [[neskončnost|neskončno]] mnogo primitivnih funkcij, na primer: <math>(x^{3}/3)+0</math>, <math>(x^{3}/3)+7</math>, <math>(x^{3}/3)-42</math>, itd. [[množica|Družina]] vseh primitivnih funkcij <math>x^{2}</math> bo tako imela obliko <math>F(x)=(x^{3}/3)+C</math>, kjer je ''C'' poljubna konstanta, znana kot [[aditivna konstanta]] ali [[konstanta integracije]]. [[graf funkcije|Grafi]] primitivnih funkcij dane funkcije so [[navpični premik|navpično premaknjeni]] po [[ordinatna os|ordinatni osi]] in [[lega]] vsakega grafa je odvisna od [[vrednost]]i ''C''.
{| class="wikitable"
! <math>f(x)\!\,</math>
! <math>F(x)\!\,</math>
! <math>\mathcal{D}_{f}\!\,</math>
|--
| colspan="3" | [[Polinom]]i in [[racionalna funkcija|racionalne funkcije]]
|--
| <math>0\!\,</math> || <math>C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>2x\!\,</math> || <math>x^{2} + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>{ax+b}\!\,</math> || <math>\frac{ax^{2}}{2}+bx + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>4x^{3}\!\,</math> || <math>x^{4} + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>2x + 4x^{3}\!\,</math> || <math>x^{2}+x^{4} + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>x^{n}\!\,</math> || <math>\frac{x^{n+1}}{n+1} + C; \ n\in\R\setminus \{-1\}</math> || <math> \begin{cases} \R^{*}; & n \ge 0 \\ \R^{*}_{+}; & \mbox{sicer }\end{cases} </math>
|--
| <math>\sqrt{x}\!\,</math> || <math>\frac 2 3 x\sqrt{x} + C \!\,</math> || <math>\R^{*}_{+}</math>
|--
| <math>\frac{1}{x}\!\, </math> || [[naravni logaritem|<math>\ln x + C \!\,</math>]] || <math> \R^{*}_{+} </math>
|--
| <math>\frac{1}{1-x}\!\, </math> || <math>-\ln(1-x) + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} \setminus \{1\} </math>
|--
| <math>-\frac{1}{x^{2}}\!\, </math> || <math>\frac{1}{x} + C \!\,</math> || <math> \R^{*} </math>
|--
| <math>\frac {1}{2\sqrt{x}}\!\, </math> || <math>\sqrt{x} + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} </math>
|--
| colspan="3" | [[trigonometrična funkcija|Trigonometrične funkcije]]
|--
| <math>\sin x\!\, </math> || <math>-\cos x + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>\cos x\!\, </math> || <math>\sin x + C \!\, </math> || <math> \R </math>
|--
| <math>\tan x\!\, </math> || <math>-\ln \cos x + C \!\,</math> || <math> \R \setminus \left\{\frac{\pi}{4}+k\pi\right\} </math>
|--
| <math>1+\tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}\!\, </math> || <math>\tan x + C \!\,</math> || <math> \R \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\} </math>
|--
| <math>-\frac {1}{\sin^{2} x}\!\, </math> || <math>\operatorname{cotan} \, x + C \!\, </math> || <math>\R \setminus \{k\pi\}</math>
|--
| colspan="3" | [[eksponentna funkcija|Eksponentne]] in [[logaritemska funkcija|logaritemske funkcije]]
|--
| <math> a^{x} = e^{x\ln a}\!\, </math> || <math>\frac{a^{x}}{\ln a} + C \!\, </math> || <math> \R </math>
|--
| <math>e\!\, </math> || <math>e x + C \!\, </math> || <math> \R </math>
|--
| <math>\frac{x}{e}\!\, </math> || <math>\frac{x^{2}}{2e} + C \!\, </math> || <math> \R </math>
|--
| <math>e^{x}\!\, </math> || <math>e^{x} + C \!\, </math> || <math> \R </math>
|--
| <math>x e^{x}\!\, </math> || <math>e^{x}(x-1) + C \!\, </math> || <math> \R </math>
|--
| <math>\frac{1}{e^{x}}\!\,</math> || <math>-\frac{1}{e^{x}} + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>\frac{x}{e^{x}}\!\,</math> || <math>-\frac{1}{e^{x}}(x+1) + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>\frac{e^{x}}{x}\!\,</math> || [[eksponentni integral|<math>-{\rm Ei}(-x) + C \!\,</math>]] || <math> \R^{*} </math>
|--
| <math>\frac{e^{x}-1}{x}\!\,</math> || <math>-{\rm Ei}(-x)-\ln x + C \!\,</math> || <math> \R^{*} </math>
|--
| [[Spenceova funkcija|<math>{\rm Li}_{2}(x)\!\,</math>]] || <math>\frac{\ln x}{1-x} + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} \setminus \{1\} </math>
|--
| [[polilogaritem|<math>{\rm Li}_{2}(1-x)\!\,</math>]] || <math>-\frac{\ln (1-x)}{x} + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} \setminus \{1\} </math>
|--
| <math>\frac{x}{e^{x}-1}\!\,</math> || <math>-{\rm Li}_{2}(e^{x})-\frac{1}{2}\ln^{2} e^{x} + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} </math>
|--
| <math>e^{\ln x}=x\!\,</math> || <math>\frac{x^{2}}{2} + C \!\,</math> || <math> \R </math>
|--
| <math>e^{\ln (1/x)}=\frac{1}{x}\!\,</math> || <math>\ln x + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} </math>
|--
| <math>e^{1/x}\!\,</math> || <math>x e^{1/x} + {\rm Ei}(-1/x) + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} </math>
|--
| <math>\ln x\!\,</math> || <math>x \ln x - x + C \!\,</math> || <math> \R^{*}_{+} </math>
|}
 
== Uporabe in lastnosti ==