Sferni koordinatni sistem: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m dodana kategorija |
m dp |
||
Vrstica 1:
[[Slika:Sferni koordinatni.svg|thumb|right|300px|Prikazan je sferni koordinatni sistem v odnosu do kartezičnega]]
'''
V sfernem koordinatnem sistemu so za točko ''P'', ki ima [[krajevni vektor]] <math>\vec r</math>, koordinate (glej sliko!):▼
▲'''Sfeni koordinatni sistem''' je krivočrtni sistem koordinat v [[trirazsežni prostor|trirazsežnem]] (tridimenzionalnem) [[prostor|prostoru]], s pomočjo katerega enolično določimo položaj [[točka|točk]] na [[krogla|krogli]] ali [[sferoid|sferoidu]]. Za določanje položaja točke v prostoru vedno potrebujemo tri koordinate.<br>
▲V sfernem koordinatnem sistemu so za točko P, ki ima [[krajevni vektor]] <math>\vec r</math>, koordinate (glej sliko!):
*
* polarni kot (oznaka <math>\theta</math> ali <math>\vartheta</math>) ([[zenitna razdalja]] ali [[kolatituda]]) je kot med pozitivno z-osjo in [[vektor (matematika)|vektorjem]] <math>\vec r</math>
* [[azimut|azimutni kot]] (oznaka <math>\phi</math> ali <math>\varphi</math>) je kot med x-osjo in smerjo [[projekcija|projekcije]] vektorja <math>\vec r</math> na x-y ravnino.
Tako zapišemo koordinate točke ''P'' na naslednji način: (''r'', <math>\theta</math>, φ). Kjer lahko
*
▲*krajevni vektor r zavzame poljubno veliko vrednost.
*
▲* azimuth <math>\phi</math> pa zavzame vrednosti med 0 in 2 π (med 0° in 360°), merjeno v nasprotni smeri od gibanja urinega kazalca
== Označevanje sfernih koordinat ==▼
V literaturi sferne koordinate označujejo zelo različno. Vedno se je potrebno prepričati kakšno označevanje je avtor uporabil. V tem prispevku jih označujemo z (''r'', <math>\theta</math>, φ). V ameriški literaturi sta oznaki <math>\theta</math> in φ uporabljani v zamenjanem smislu. ▼
▲==Označevanje sfernih koordinat ==
▲V literaturi sferne koordinate označujejo zelo različno. Vedno se je potrebno prepričati kakšno označevanje je avtor uporabil. V tem prispevku jih označujemo z (r, <math>\theta</math>, φ). V ameriški literaturi sta oznaki <math>\theta</math> in φ uporabljani v zamenjanem smislu.
Uporabljajo se naslednje kombinacije in oznake:
{| class="prettytable"
Vrstica 25 ⟶ 24:
! polarni kot
|-
| align="center" valign="middle" | ''r''
| align="center" valign="middle" | φ
| align="center" valign="middle" | <math>\theta</math>
|-
| align="center" valign="middle" | ''r''
| align="center" valign="middle" | <math>\theta</math>
| align="center" valign="middle" | Φ
Vrstica 37 ⟶ 36:
| align="center" valign="middle" | Φ
|-
| align="center" valign="middle" | ''r''
| align="center" valign="middle" | <math>\vartheta</math>
| align="center" valign="middle" | φ
|-
| align="center" valign="middle" | ''r''
| align="center" valign="middle" | Φ
| align="center" valign="middle" | <math>\theta</math>
|-
| align="center" valign="middle" | ''r''
| align="center" valign="middle" | φ
| align="center" valign="middle" | <math>\theta</math>
|-
| align="center" valign="middle" | ''r''
| align="center" valign="middle" | ψ
| align="center" valign="middle" | <math>\theta</math>
|}
Polarni kot <math>\theta</math> ni podoben [[zemljepisna širina|
== Pretvorba v druge koordinatne sisteme ==
=== Pretvorba iz sfernih koordinat v [[kartezični koordinatni sistem|kartezične]] ===
: <math>x = r \sin \theta \cos \varphi</math>
: <math>y = r \sin \theta \sin \varphi</math>
: <math>z = r \cos \theta \quad</math>.
=== Pretvorba iz kartezičnih koordinat v sferne ===
:<math>{r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>;▼
:<math>{\varphi}=\begin{cases}\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{za}\ y\geq0, \\[,5em] 2\pi-\arccos\frac x{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{za}\ y < 0;\end{cases} </math> ▼
:<math>{\theta}=\arccot\frac z{\sqrt{x^2+y^2}} \ = \ \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>.▼
▲: <math>{r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>;
▲: <math>{\varphi}=\begin{cases}\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{za}\ y\geq0, \\[,5em] 2\pi-\arccos\frac x{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{za}\ y < 0;\end{cases} </math>
▲: <math>{\theta}=\arccot\frac z{\sqrt{x^2+y^2}} \ = \ \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>.
[[Kategorija:Geometrija]]
| |||