Funkcija gama: razlika med redakcijama

dodanih 57 zlogov ,  pred 13 leti
m
dp
m (robot Dodajanje: is:Gammafallið)
m (dp)
[[Slika:Gamma.png|thumb]]
[[Slika:Gamma abs.png|thumb]]
'''FunkcijaFúnkcija gamagáma''' je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija|specialna]] [[funkcija]], ki razširja pojem [[fakulteta (funkcija)|fakultete]] na [[kompleksno število|kompleksna števila]]. Zapisa se je domislil [[Adrien-Marie Legendre]], funkcijo samo pa je uvedel [[Leonhard Euler]]. Če je [[realno število|realni]] del kompleksnega števila ''z'' [[pozitivno število|pozitiven]], potem [[integral]]:
 
: <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt </math>
: <math>
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt
</math>
 
[[konvergenca|konvergira]] absolutno. Z [[integracija po delih|integracijo po delih]] je moč pokazati, da velja:
 
: <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \!\, . </math>
 
Ker je &Gamma;Γ(1) = 1, odtod sledi:
 
: <math>\Gamma(n+1) = n! \!\, </math>
 
za vsa [[naravno število|naravna števila]] ''n''. Z [[analitično nadaljevanje|analitičnim nadaljevanjem]] je moč razširiti &Gamma;Γ(''z'') v [[meromorfna funkcija|meromorfno funkcijo]] definirano za vsa kompleksna
števila ''z'' razen ''z''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;&minus;1,&nbsp;&minus;2,&nbsp;&minus;3,&nbsp;..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.
 
Funkcija gama nima [[ničla|ničel]]. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:
 
: <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \!\, . </math>
 
Funkcija gama ima [[pol (kompleksna analiza)|pol]] reda 1 pri ''z'' = &minus;''n'' za vsako naravno število ''n''; [[residuum]] je tam podan kot:
 
: <math>\operatorname{Res}(\Gamma,-n) = \frac{(-1)^n}{n!} \!\, . </math>
 
Naslednja [[multiplikativna funkcija|multiplikativna]] oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila ''z'', ki niso nepozitivna [[celo število|cela števila]]:
 
: <math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \!\, . </math>
 
Tu je &gamma;γ [[Euler-Mascheronijeva konstanta]].
 
Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:
 
<math>
\Gamma\left( x\right) =\frac{\Gamma\left( x+1\right)}{x}=\frac{\Gamma\left( x+2\right)}{x\left( x+1\right) }=\ldots =\frac{\Gamma\left( x+k+1\right)}{x\left( x+1\right) \left( x+2\right) \ldots \left( x+k\right) } \!\,
</math>
 
 
== Zunanje povezave ==
 
* [http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Funkcija gama na MathWorld] (v{{ikona angleščini)en}}
 
[[Kategorija:Specialne funkcije|Gama, funkcija]]