Besslova funkcija: razlika med redakcijama

odstranjenih 14 zlogov ,  pred 13 leti
m
dp
m (robot Dodajanje: lt:Beselio funkcija)
m (dp)
'''Besslove funkcije''' [''béslove fúnkcije''] (pogosteje: '''Bésselove f.''') so družina [[transcendentne funkcije|transcendentnih]] [[funkcija|funkcij]], ki rešijo Besslovo (pogosteje: ''Besselovo'') [[diferencialna enačba|diferencialno enačbo]]:
 
: <math>
x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \frac{dy}{dx}+\left( x-\nu \right) y=0
</math>
Kot prvi jih je definiral [[Švica|švicarski]] [[matematik]] [[Daniel Bernoulli]] in jih poimenoval po [[Friedrich Wilhelm Bessel|Friedrichu Besslu]].
 
== Uporabnost Besslovih funkcij ==
 
Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov [[matematična fizika|matematične fizike]] v valjasti ali krogelni [[geometrija|geometriji]], kot na primer:
 
* [[prevajanje]] [[toplota|toplote]] ali [[difuzija]] v [[valj]]u
* [[nihanje]] tankega valja
* [[elektromagnetno|elekromagnetna]] [[valovanje|valovanja]] v valjastem [[valovni vodnik|valovnem vodniku]]. V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot [[harmonične funkcije]] ([[sinus]], [[cosinus]]) v pravokotni geometriji.
V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot [[harmonične funkcije]] ([[sinus]], [[cosinus]]) v pravokotni geometriji.
 
Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov [[uporabna matematika|uporabne matematike]].
 
== Besslove funkcije <math>J_{\nu }</math> in <math>Y_{\nu }</math> ==
[[Slika:BesselJ plot.svg|thumb|right|350px|Graf Besslove funkcije prve vrste za red &nu; = 0,1,2.]]
'''Besslova funkcija prve vrste reda <math>\nu</math>''' se izračuna kot:
: <math>
J_{\nu }=\sum_{m=0}^{\infty }\frac{\left( -1\right) ^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left( m+\nu +1\right)}
</math>
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> nista [[linearna odvisnost|linearno odvisni]], zato ima v tem primeru [[splošna rešitev]] Besslove diferencialne enačbe obliko:
 
: <math>
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} J_{-\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \not\in {\mathcal Z}\right)
</math>
<math>J_{-\nu }\left( x\right) </math> linearno odvisni, saj velja:
 
: <math>
J_{-\nu }\left( x\right) =\left( -1\right) ^{\nu }J_{\nu }\left( x\right)
</math>
V tem primeru potrebujemo '''Besslovo funkcijo druge vrste reda <math>\nu</math>''', ponekod imenovano tudi ''Neumannova funkcija'' ali ''Webrova funkcija'':
 
: <math>
Y_{\nu }\left( x\right) =\lim_{m\to \nu } \frac{J_{m}\left( x\right) \cos \left(\pi m\right) -J_{-m}\left( x\right) }{\sin \left( \pi m\right) }
</math>
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli [[realno število|realni]] <math>\nu</math> enaka:
 
: <math>
y\left( x\right) =c_{1} J_{\nu }\left( x\right) +c_{2} Y_{\nu }\left( x\right) \qquad \left( \nu \in {\mathcal R}\right)
</math>