Polgrupa: Razlika med redakcijama

V [[matematika|matematiki]] je '''polgrupaPólgrúpa''' ali tudi '''semigrupasémigrúpa''' ''S'' = {''a'', ''b'', ...} je v [[matematika|matematiki]] par (''S'', *), kjer je ''S'' [[množica]] in * [[asociativnost|asociativna]] [[dvočlena operacija]] na ''S'': ''S'' &times; ''S'' &rarr; ''S'' in, ki vsakemu [[urejen par|urejenemu paru]] (''a'', ''b'') <math>\in</math> ''S'' priredi natanko en element ''a'' * ''b'' <math>\in</math> ''S''. [[Operacija]] * mora zadoščati pogojem:

=== PrimeriZgledi polgrup ===

* Množica [[pozitivno število|pozitivnih]] [[celo število|celih števil]] z operacijo [[seštevanje|seštevanja]].

* Množica končnih [[znakovni niz|znakovnih nizov]] čez poljubno določeno abecedo &Sigma; z operacijo spojitve znakovnega niza. Če vsebuje tudi prazen znakovni niz &epsilon; &equiv; "" je takšna polgrupa monoid, ki se imenuje "»prosti monoid čez &Sigma;"«. Če praznega znakovnega niza ne vsebuje, se takšna polgrupa imenuje "»prosta polgrupa čez &Sigma;«.

Če je ''S'' polgrupa, je presek katerekoli zbirke podpolgrup ''S'' tudi podpolgrupa ''S''. Tako podpolgrupe ''S'' tvorijo celotno [[mreža|mrežo]]. Za poljubno podmnožico ''A'' grupe ''S'' obstaja najmanjša podpolgrupa ''T'' grupe ''S'', ki vsebuje ''A''. Rečemo, da ''A'' '''pridelarodi (generira)''' ''T''. Element ''x'' polgrupe ''S'' pridelarodi podpolgrupo { ''x''ⁿ | n je pozitivno celo število }. Če je takšna podpolgrupa končna, rečemo da ima ''x'' '''končno moč''', drugače pa ima '''neskončno moč'''. Polgrupa je '''periodična''', če imajo vsi njeni elementi končno moč. Končne polgrupe so vse periodične. Polgrupa, ki jo pridelarodi samo en element, se imenuje '''enogenskaenorodna (monogenskamonorodna)''' (ali '''ciklična'''). Če je enogenskaenorodna polgrupa neskončna je izomorfna polgrupi množici pozitivnih celih števil, zaprti za seštevanje. Če pa je končna, mora vsebovati idempotent in to natanko enega. Tako ima vsaka neprazna periodična polgrupa vsaj en idempotent.

Podpolgrupa, ki je hkrati grupa, se imenuje [[podgrupa]]. Med podgrupami in polgrupami ter njihovimi idempotenti obstaja zelo tesna povezava. Vsaka podgrupa vsebuje natanko en idempotent, namreč enak element (identiteto) podgrupe. Za vsak idempotent ''e'' polgrupe obstaja edina največja podgrupa, ki vsebuje ''e''. Vsaka največja podgrupa nastane na ta način, zato obstaja enolična zveza med idempotenti in največjimi podgrupami. (Omeniti moramo, da je tukaj pojem ''največje podgrupe'' različen kot v [[teorija grup|teoriji grup]]. V teoriji grup je t.i. "»največja podgrupa"« v resnici največja ''prava'' podgrupa. Če jo obravnavamo kot polgrupo, ima grupa samo eno največjo podgrupo, in to prav samo sebe.)