Ortonormalnost

Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.

DefinicijaUredi

Z   označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev

 

je ortogonalna, če in samo, če velja

 

kjer je

  •   Kroneckerjeva delta
  •   notranji produkt v prostoru  .

ZnačilnostiUredi

  • če je   skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja
 

ZglediUredi

Dvorazsežni kartezični koordinatni sistemUredi

Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta   in  . Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:

  • skalarni produkt je enak 0 ali  
  • norma vektorja   je enaka 1 ali  
  • norma vektorja   je enaka 1 ali  .

To lahko zapišemo kot

  1.  
  2.  
  3.  .

Kar pomeni, da je  . Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Metoda ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov proces. Običajno se to izvaja v evklidskem prostoru   z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.

Standardna bazaUredi

Glavni članek: standardna baza.

Standardna baza v koordinatnem prostoru   je   kjer je

  •  
  •  
.
.
  •  

Katerakoli dva vektorja   in  , ki imata   sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.

Zunanje povezaveUredi