Pozitivno definitna matrika

Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.

Definicija

Realna simetrična matrika $M\,$ razsežnosti $n\times n\,$ je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje $z\,$ z realnimi elementi ($z\in \mathbb {R} ^{n}$) velja $z^{T}Mz>0\,$.

Kompleksna matrika $M\,$ z razsežnostjo $n\times n\,$ je pozitivno definitna, če je ℜ(z^*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje $z\,$, kjer z^* pomeni konjugirano transponirani vektor $z\,$ in ℜ(c) je realni del števila $c\,$.

Kompleksna hermitska matrika $M\,$ z razsežnostjo $n\times n\,$ je pozitivno definitna, če je $z^{*}Mz>0\,$ za vse neničelne kompleksne vektorje $z\,$. Pri tem je vrednost $z^{*}Mz>0\,$ vedno realna.

V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje.

Zgledi

Matrika

$M_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ je pozitivno definitna.

Za vektor ${\textbf {z}}={\begin{bmatrix}z_{0}\\z_{1}\end{bmatrix}}$ velja ${\begin{bmatrix}z_{0}&z_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{0}\\z_{1}\end{bmatrix}}=z_{0}^{2}+z_{1}^{2};$. Če sta $z_{0}\,$ ali $z_{1}\,$, realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.

Nasprotno pa matrika

$M_{2}={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}$

ni pozitivno definitna, ker za vektor

${\textbf {z}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$

velja

${\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=-2<0\,$.

To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.

Značilnosti

• hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p.
• lastne vrednosti $\lambda _{i}\,$ matrike $M\,$, ki je pozitivno definitna, so pozitivne.
• naslednje matrike $M\,$, ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij)
  • zgornji levi kot matrike $M\,$ z razsežnostjo $1\times 1\,$
  • zgornji levi kot matrike $M\,$ z razsežnostjo $2\times 2\,$
  • zgornji levi kot matrike $M\,$ z razsežnostjo $3\times 3\,$
  • ….
  • sama matrika $M\,$
• vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika $L\,$, ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo

$M=L.L^{*}\,$

kjer je

• • $L^{*}\,$ konjugirano transponirana matrika matrike $L\,$.
• vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva. Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna.
• če je matrika $M\,$ pozitivno definitna in je $r\,$ realno število, potem je tudi $rM\,$pozitivno definitna matrika

Vse zgornje značilnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem je treba samo zamenjati $\mathbb {C} ^{n}$ z $\mathbb {R} ^{n}$ in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.

Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrika

Hermitska matrika razsežnosti $n\times n\,$ z oznako $M\,$ je negativno definitna, če zanjo velja:

$x^{*}Mx<0\!\,$

za vse $x\in \mathbb {C} ^{n}$ (za realne matrike pa $x\in \mathbb {R} ^{n}$)

Kadar pa velja:

$x^{*}Mx\geq 0\!\,$

za vse $x\in \mathbb {C} ^{n}$ (oziroma $x\in \mathbb {R} ^{n}$ za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).

Matrika je negativno semidefinitna, če je:

$x^{*}Mx\leq 0\!\,.$

Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna.

Glej tudi

• pozitivno definitna funkcija
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Positive Definite Matrix«. MathWorld.
• Pozitivna definitnost na PlanethMath Arhivirano 2011-06-04 na Wayback Machine. (angleško)
• Lastnosti pozitivno definitne matrike (angleško)