Eksponentna funkcija

Eksponéntna fúnkcija je matematična funkcija z enačbo oblike f(x) = a^x, pri čemer je število a pozitivno in različno od 1. Število a imenujemo osnova ali baza eksponentne funkcije.

Grafi eksponentnih funkcij z osnovo a > 1

Naravna eksponentna funkcija f(x) = e^x

Eksponentna funkcija, ki ima za osnovo Eulerjevo število e ≈ 2.718 281 828 se imenuje naravna eksponentna funkcija: f(x) = e^x. To funkcijo se včasih zapiše tudi kot: f(x) = exp x.

Lastnosti eksponentne funkcije v realnem

Eksponentna funkcija kot realna funkcija realne spremenljivke ima naslednje lastnosti:

• Vrednost funkcije je vedno pozitivna - funkcija je navzdol omejena z 0.
• Eksponentna funkcija je navzgor neomejena.
• Če je osnova a večja od 1, funkcija narašča.
• Če je osnova a med 0 in 1, funkcija pada.

Inverz eksponentne funkcije z osnovo a je logaritemska funkcija z isto osnovo. Inverz naravne eksponentne funkcije je naravna logaritemska funkcija ln x.

Naravna eksponentna funkcija je posebej pomembna v povezavi z odvajanjem in integriranjem: pri teh dveh operacijah se namreč ne spremeni:

$f(x)=e^{x}\Rightarrow f'(x)=e^{x}$

$f(x)=e^{x}\Rightarrow \int f(x)\,dx=e^{x}+C$

Posledica tega je dejstvo, da lahko naravno eksponentno funkcijo zelo preprosto zapišemo v obliki potenčne vrste:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

Eksponentna funkcija v kompleksnem

Pri računanju vrednosti naravne eksponentne funkcije za kompleksni argument si pomagamo s pravilom:

$e^{iy}=\cos y+i\,\sin y$

Oziroma splošneje:

$e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\,\sin y)$

S tem pravilom je povezana tudi slavna Eulerjeva enačba, ki povezuje pet najpomembnejših matematičnih konstant in tri osnovne računske operacije:

$e^{i\pi }+1=0\,$