Odpre glavni meni

Kvantni harmonski oscilator je kvantnomehanski analog klasičnemu harmonskemu oscilatorju (harmoničnemu nihalu). Harmonično nihanje dobimo vselej, kadar je potencialna energija kvadratna funkcija odmika, zato vsakemu sistemu s tako potecialno energijo pravimo harmonični oscilator. V kvantni mehaniki ima zelo velik pomen, saj lahko večino potencialov aproksimiramo s harmonskim, če se delec giblje v okolici neke stabilne ravnovesne lege. Poleg tega je to eden redkih potencialov, za katerega znamo v kvantni mehaniki analitično poiskati rešitve.

Enodimenzionalni harmonski oscilatorUredi

Če obravnavamo ta problem v eni dimenziji, izgleda Hamiltonov operator (v kvantni mehaniki je to operator za energijo) tako:   kjer je   operator lege in   operator gibalne količine, ki se izraža kot   ,   je masa delca in   je konstanta sile, ki povzroča nihanje, ponavadi jo prepišemo v   , kjer je   krožna frekvenca delca. Prvi člen Hamiltoniana predstavlja tako kinetično energijo delca, drugi pa potencialno. Energija je konstantna, če ni upora ali trenja.

Kot je navada v kvantni mehaniki, poiščemo rešitve problema potom Schrödingerjeve enačbe, v tem primeru stacionarne (neodvisne od časa), v Diracovem zapisu :  , kjer so   lastne vrednosti Hamiltonovega operatorja,   pa so lastne funkcije (pravimo jim tudi lastna stanja) taistega operatorja. Naš cilj je, da poračunamo to dvoje. Lastne vrednosti so realna števila in pri Hamiltonovem operatorju nam obenem določajo energijske nivoje.

Iskanje lastih funkcij harmonskega oscilatorja pomeni spretno manipuliranje z diferencialnimi enačbami, katerih koeficienti niso konstantni. Na koncu se izkaže, da izgledajo lastne funkcije tega problema tako: :  , kjer so   tako imenovani Hermitovi polinomi: :  . Lastne vrenosti energije pa so: : 


Ta energijski spekter je zanimiv iz treh razlogov: prvič, energije so kvantizirane, kar pomeni, da se energija lahko pojavi le kot diskretna količina (celo število plus polovička  ), kar je tipično za kvantne sisteme, ko imamo opravka z omejenim delcem. (Mimogrede, zato pravimo tej teoriji kvantna mehanika, saj je ena njenih glavnih ugotovitev ta, da se energija prenaša v »paketkih« - t.i. kvantih.). Drugič, tej diskretni energijski nivoji so med sabo enako razmaknjeni, kar nasprituje Bohrovemu modelu. Tretjič, najnižja možna energija (pri vrednosti n = 0), tako imenovano osnovno stanje, ni enaka minimumu potenciala, ampak se nahaja   nad njim. Posledično se zgodi, da v osnovnem stanju položaj in gibalna količina nista določena, kakor veleva Heisenbergovo načelo nedoločenosti.

Kot vemo iz osnov kvantne mehanike, valovna funkcija oz. stanje predstavlja gostoto verjetnosti za to, kje najdemo delec. V primeru harmonskega oscilatorja je gostota verjetnosti za osnovno stanje skoncentrirana okoli izhodišča, kar pomeni, da se delec najverjetneje nahaja v dnu potenciala, kakor pričakujemo od nizkoenergijskih stanj. Z večanjem energije prehajamo vedno bolj v klasično fiziko (to v splošnem velja v kvantnomehanskih sistemih). Verjetnostna gostota ima pri višjih energijah vrhove pri t.i. obračalnih točkah. Če si predstavljamo klasični harmonski oscilator, torej vzmetno nihalo, so obračalne točke tam, kjer nihalo zamenja smer. Tam namreč nihalo najlažje najdemo, saj se v obračalnih točkah najpočasneje premika.

Metoda kreacijskih in anihilacijskih operatorjevUredi

To metodo je izumil Paul Dirac predvsem zato, ker se lahko na ta način izognemo reševanju diferencialnih enačb in okornim Hermitovim polinomom in vseeno poračunamo lastne vrednosti energije. Lestvična metoda je uporabna predvsem pri rokovanju s težjimi problemi, ki so vseprisotni v kvantni teoriji polja. Začnemo tako, da dafiniramo   in   'a-adjungirano':

 


Preko teh dveh operatorjev lahko izrazimo operator položaja  in operator gibalne količine  :

 

Operator   ni hermitski, kar pomeni, da ni enak svojemu adjungiranemu operatorju  . Če delujemo z enim ali drugim operatorjem na lastno stanje energije   se zgodi naslednje:

 

Vidimo lahko torej, da če delujemo na lastno stanje energije z operatorjem  , dobimo za en kvant energije nižji energijski nivo, zato pravimo temu operatorju tudi anihilacijski operator (oz. operator zniževanja). Analogno dobimo z delovanjem operatorja   za en kvant višji nivo in mu zato rečemo kreacijski operator (operator zviševanja). S pomočjo teh dveh operatorjev se torej udobno sprehajamo po lestvici energijskih nivojev harmonskega oscilatorja. Tudi Hamiltonov operator lahko izrazimo z   in  :  


Zanimivo si je ogledati še komutator anihilacijskega in kreacijskega operatorja:  . Zmnožku operatorjev   rečemo tudi operator štetja, saj če s tem zmnožkom delujemo na lastno stanje, dobimo število ( ) – podatek o tem, v katerem energijskem stanju je naš harmonski oscilator:   . Pomembno je pripomniti še to, da z anihilacijskim operatorjem ne moremo priti do neskončnih negativnih energij, saj ko z njim delujemo na osnovno stanje dobimo ničlo v vektorskem prostoru: