Konstanta omega je matematična konstanta določena kot:
Ω
e
Ω
=
1
.
{\displaystyle \Omega \,e^{\Omega }=1\!\,.}
Je vrednost
W
0
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {W} _{0}(1)}
Ω
≡
W
0
(
1
)
,
{\displaystyle \Omega \equiv \operatorname {W} _{0}(1)\!\,,}
kjer je
W
0
{\displaystyle \operatorname {W} _{0}}
Lambertova funkcija W za realne argumente, ki je rešitev enačbe :
x
=
1
e
x
,
{\displaystyle x={\frac {1}{e^{x}}}\!\,,}
oziroma:
x
=
ln
(
1
x
)
.
{\displaystyle x=\ln \left({\frac {1}{x}}\right)\!\,.}
Ime konstante izhaja iz drugega imena za Lambertovo funkcijo W, funkcije Ω .
Številska desetiška vrednost je približno: (OEIS A030178
Ω
=
0
,
5671432904097838729999686622
…
.
{\displaystyle \Omega =0,5671432904097838729999686622\ldots \!\,.}
Za konstanto velja:
e
−
Ω
=
Ω
,
{\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega \!\,,}
oziroma enakovredno:
1
Ω
=
e
Ω
,
{\displaystyle {\frac {1}{\Omega }}=e^{\Omega }\!\,,}
kar da:
ln
Ω
−
1
=
Ω
.
{\displaystyle \ln \Omega ^{-1}=\Omega \!\,.}
Zapišemo jo lahko tudi s tetracijo :
Ω
=
u
u
⋅
⋅
⋅
,
{\displaystyle \Omega =u^{u^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\,,}
kjer je
u
=
1
/
e
{\displaystyle u=1/e}
Konstanto Ω lahko izračunamo iterativno , če začnemo S poljubno z vrednostjo Ω0 (npr. Ω0 = 1), in upoštevamo zaporedje :
Ω
n
+
1
=
e
−
Ω
n
.
{\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}\!\,.}
To zaporedje bo pri n →∞ konvergiralo k Ω, sicer počasi. Hitreje konvergira zaporedje:
Ω
n
+
1
=
1
+
Ω
n
1
+
e
Ω
n
.
{\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}\!\,.}
Konstanto lahko zapišemo z integralom :
∫
−
∞
∞
1
(
e
x
−
x
)
2
+
π
2
d
x
=
1
1
+
Ω
=
0
,
6381037433651107785224073855
…
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1+\Omega }}=0,6381037433651107785224073855\ldots \!\,,}
v primerjavi z:
∫
−
∞
∞
1
(
e
x
−
x
+
1
)
2
+
π
2
d
x
=
1
2
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x+1)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\!\,.}
Iracionalnost in transcendentnost
uredi
Da je Ω iracionalno število , se lahko dokaže iz dejstva, da je e transcendentno število . Če bi bila Ω racionalno število , bi obstajali takšni celi števili p in q , da bi veljalo:
p
q
=
Ω
,
{\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega \!\,,}
in naprej:
1
=
p
e
(
p
q
)
q
{\displaystyle 1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}}
e
=
(
q
p
)
(
q
p
)
=
q
q
p
q
p
,
{\displaystyle e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}\!\,,}
e pa bi bilo algebrsko število stopnje p . Ker je e trancendentno število, mora biti Ω iracionalno.
Ω je dejansko transcendetno število, kar je neposredna posledica Lindemann-Weierstrassovega izreka . Če bi bila Ω algebrsko število, bi bilo exp(Ω) transcendentno, in prav tako exp−1 (Ω). To pa nasprotuje privzetku, da je algebrsko.
![{\displaystyle e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bea26498827364256d470b5d77311d35632975)