Kaprekarjevo število

Kaprékarjevo števílo je v matematiki pozitivno celo število, za katerega lahko v dani osnovi števke njegovega kvadrata razdelimo na dve števili z enakim številom števk, kot jih ima število, pri čemer je vsota novih števil enaka številu samemu. Pri tem velja:

$k^{2}=l\,10^{n}+r\,\!\;,$

$k=l+r;\quad n\geq 1,l\geq 1,0<r<10^{n}\,\!\;.$

Število 1 je Kaprekarjevo po dogovoru, saj velja:

$1^{2}=0\cdot 10^{n}+1,\quad 1=0+1\,\!\;.$

$9:9^{2}=81;8+1=9\,\!$

$45:45^{2}=2025;20+25=45\,\!$

$55:55^{2}=3025;30+25=55\,\!$

$99:99^{2}=9801;98+1=99\,\!$

$297:297^{2}=88209;88+209=297\,\!$

$703:703^{2}=494209;494+209=703\,\!$

$999:999^{2}=998001;998+1=999\,\!$

$2223:2223^{2}=4941729;494+1729=2223\,\!$

Prva Kaprekarjeva števila so (zaporedje A006886 v OEIS):

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272,...

Kaprekarjeva števila se imenujejo po indijskem matematiku Šriju Datatreju Ramačandru Kaprekarju (1905-1986), ki jih je predstavil leta 1980.

Vsako število oblike 10ⁿ za n ≥ 1 je Kaprekarjevo, saj velja:

$\left(10^{2}-1\right)^{2}=\left(10^{n}-2\right)10^{n}+1\;,$

$10^{n}-1=\left(10^{n}-2\right)+1\;.$

Vidi se, da število 0 ni Kaprekarjevo.

Druge značilnosti

Soda popolna števila so Kaprekarjeva v dvojiškem sistemu.

Na primer:

$6_{[2]}=110\;,$

$110^{2}=100100,\quad 10+0100=110\;,$

ali:

$496_{[2]}=111110000\;,$

$111110000^{2}=111100000100000000,\quad 11110000+0100000000=111110000$

Tudi za druge potence obstajajo Kaprekarjeva števila.