Kaprékarjevo števílo je v matematiki pozitivno celo število , za katerega lahko v dani osnovi števke njegovega kvadrata razdelimo na dve števili z enakim številom števk, kot jih ima število, pri čemer je vsota novih števil enaka številu samemu. Pri tem velja:
k 2 = l 10 n + r , {\displaystyle k^{2}=l\,10^{n}+r\,\!\;,}
k = l + r ; n ≥ 1 , l ≥ 1 , 0 < r < 10 n . {\displaystyle k=l+r;\quad n\geq 1,l\geq 1,0<r<10^{n}\,\!\;.} Število 1 je Kaprekarjevo po dogovoru, saj velja:
1 2 = 0 ⋅ 10 n + 1 , 1 = 0 + 1 . {\displaystyle 1^{2}=0\cdot 10^{n}+1,\quad 1=0+1\,\!\;.} 9 : 9 2 = 81 ; 8 + 1 = 9 {\displaystyle 9:9^{2}=81;8+1=9\,\!}
45 : 45 2 = 2025 ; 20 + 25 = 45 {\displaystyle 45:45^{2}=2025;20+25=45\,\!}
55 : 55 2 = 3025 ; 30 + 25 = 55 {\displaystyle 55:55^{2}=3025;30+25=55\,\!}
99 : 99 2 = 9801 ; 98 + 1 = 99 {\displaystyle 99:99^{2}=9801;98+1=99\,\!}
297 : 297 2 = 88209 ; 88 + 209 = 297 {\displaystyle 297:297^{2}=88209;88+209=297\,\!}
703 : 703 2 = 494209 ; 494 + 209 = 703 {\displaystyle 703:703^{2}=494209;494+209=703\,\!}
999 : 999 2 = 998001 ; 998 + 1 = 999 {\displaystyle 999:999^{2}=998001;998+1=999\,\!}
2223 : 2223 2 = 4941729 ; 494 + 1729 = 2223 {\displaystyle 2223:2223^{2}=4941729;494+1729=2223\,\!} Prva Kaprekarjeva števila so (OEIS A006886 ):
1, 9 , 45 , 55 , 99 , 297 , 703 , 999 , 2223 , 2728 , 4879 , 4950 , 5050 , 5292 , 7272 ,... Kaprekarjeva števila se imenujejo po indijskem matematiku Šriju Datatreju Ramačandru Kaprekarju (1905-1986), ki jih je predstavil leta 1980 .
Vsako število oblike 10n za n ≥ 1 je Kaprekarjevo, saj velja:
( 10 2 − 1 ) 2 = ( 10 n − 2 ) 10 n + 1 , {\displaystyle \left(10^{2}-1\right)^{2}=\left(10^{n}-2\right)10^{n}+1\;,}
10 n − 1 = ( 10 n − 2 ) + 1 . {\displaystyle 10^{n}-1=\left(10^{n}-2\right)+1\;.} Vidi se, da število 0 ni Kaprekarjevo.
Druge značilnosti
uredi
Soda popolna števila so Kaprekarjeva v dvojiškem sistemu .
Na primer:
6 [ 2 ] = 110 , {\displaystyle 6_{[2]}=110\;,}
110 2 = 100100 , 10 + 0100 = 110 , {\displaystyle 110^{2}=100100,\quad 10+0100=110\;,} ali:
496 [ 2 ] = 111110000 , {\displaystyle 496_{[2]}=111110000\;,}
111110000 2 = 111100000100000000 , 11110000 + 0100000000 = 111110000 {\displaystyle 111110000^{2}=111100000100000000,\quad 11110000+0100000000=111110000} Tudi za druge potence obstajajo Kaprekarjeva števila.