Jedro (matrika)

Jedro (tudi ničelni prostor) (oznaka ) je v linearni algebri za matriko A množica vseh vektorjev x za katere velja Ax = 0.

Jedro matrike z n stolpci je linearni podprostor n razsežnega evklidskega prostora [1]

Razsežnost ničelnega prostora se imenuje ničelnost (tudi defekt) matrike A.

DefinicijaUredi

Jedro matrike m × n matrike A je množica

 [2]

kjer 0 pomeni ničelni vektor z m komponentami. Matrična enačba Ax = 0 je enakovredna homogenemu sistemu linearnih enačb:

 

Iz tega gledišča je ničelni prostor A enak rešitvi homogenega sistema.

ZgledUredi

Obravnavajmo matriko

 

Ničelni prostor matrike sestavljajo vsi vektorji (xyz) ∈ R3 za katere velja

 

To lahko pišemo kot homogen sistem linearnih enačb, ki vključujejo x, y in z:

 

To lahko pišemo v matrični obliki:

 

Z uporabo Gaussove eliminacijske metode dobimo:

 

Ponovno pisanje nam da:

 

Sedaj lahko pišemo za ničelni prostor (rešitev za Ax = 0) izraženo v vrednosti za c, kjer je c skalar:

 

Ker pa je c spremenljivka, lahko to poenostavimo v

 

Ničelni prostor za A je množica rešitev teh enačb (v tem primeru je to premica skozi izhodišče v R3).

Lastnosti podprostoraUredi

Ničelni prostor za m × n matrike je podprostor za Rn. Ta množica Null(A) ima naslednje lastnosti:

  1. Null(A) vedno vključuje ničelni vektor.
  2. Če je x ∈ Null(A) in y ∈ Null(A), potem velja x + y ∈ Null(A).
  3. Če je x ∈ Null(A) in je c skalar, potem je tudi c x ∈ Null(A).

BazaUredi

Na ničelni prostor matrike ne vplivajo elementarne vrstične operacije. To omogoča možnost uporabe zmanjšanja vrstic, da bi našli bazo za ničelni prostor:

Vhod m × n matrika A.
Izhod baza ničelnega prostora A
  1. Uporaba elementarnih vrstičnih operacij A v reduciranih vrstična ešelonska oblika.
  2. Interpretacija reducirane vrstične ešelonske oblike kot homogenega linearnega sistema, ki določa katera od spremenljivk x1x2, ..., xn so proste spremenljivke. Napišemo enačbe za odvisne spremenljivke v odvisnosti od prostih spremenljivk.
  3. za vsako prosto spremenljivko xi, izberemo vektor v ničelnem prostoru za katerega je xi = 1 in ostale proste spremenljivke so nič. Nastala skupina vektorjev je baza za ničelni prostor v A.

Na primer, predpostavimo, da ima reducirani vrstični ešelon obliko za A

 

V tem primeru ima rešitev homogenega sistema v parametrični obliki z x3, x5 in x6 kot prostimi spremenljivkami so

 

To lahko zapišemo kot

 

Torej so trije vektorji

 

baza ničelnega prostora za A.

Nehomogene enačbeUredi

Ničelni prostor ima prav tako svojo vlogo pri rešitvah nehomogenega sistema linearnih enačb:

 

Če sta u in v dve možni rešitvi zgornje enačbe, potem velja

 

To pa pomeni, da razlika dveh rešitev enačbe Ax = b leži v ničelnem prostoru matrike A.

Iz tega sledi, da se vsaka rešitev enačbe Ax = b lahko izrazi kot vsota fiksnih rešitev poljubnih elementov iz ničelnega prostora. To pomeni, da za množico rešitev enačbe Ax = b velja

 

kjer je v poljuben fiksni vektor, ki zadošča pogoju Av = b. Geometrijsko je to pomeni, da je množica rešitev enačbe Ax = b preslikava ničelnega prostora za A z vektorjem v.

Opombe in skliciUredi

  1. Linearna algebra, kot se obravnava tukaj, je zelo dobro osnovana matematična panoga, za katero je zelo veliko virov. Skoraj vse iz tega članka se najde v Lay 2005, Meyer 2001 in Strang 2005.
  2. Te enačbe uporabljajo notacijo množice.

Glej tudiUredi