Jedro (tudi ničelni prostor) (oznaka
Ker
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Ker}}(A)}
linearni algebri za matriko A množica vseh vektorjev x za katere velja Ax = 0 .
Jedro matrike z n stolpci je linearni podprostor n razsežnega evklidskega prostora [1]
Razsežnost ničelnega prostora se imenuje ničelnost (tudi defekt ) matrike A .
Definicija
uredi
Jedro matrike m × n matrike A je množica
N
(
A
)
=
Null
(
A
)
=
Ker
(
A
)
=
{
x
∈
C
n
:
A
x
=
0
}
,
{\displaystyle {\mbox{N}}(\mathbf {A} )={\mbox{Null}}(\mathbf {A} )={\mbox{Ker}}(\mathbf {A} )=\left\{{\textbf {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:\mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {0}}\right\}{\text{,}}}
[2] kjer 0 pomeni ničelni vektor z m komponentami. Matrična enačba Ax = 0 je enakovredna homogenemu sistemu linearnih enačb :
A
x
=
0
⇔
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
0
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
0.
{\displaystyle \mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {0}}\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&\vdots \,&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0.&\end{alignedat}}}
Iz tega gledišča je ničelni prostor A enak rešitvi homogenega sistema.
Obravnavajmo matriko
A
=
[
2
3
5
−
4
2
3
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}
Ničelni prostor matrike sestavljajo vsi vektorji (x , y , z ) ∈ R 3 za katere velja
[
2
3
5
−
4
2
3
]
[
x
y
z
]
=
[
0
0
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}}
To lahko pišemo kot homogen sistem linearnih enačb , ki vključujejo x , y in z :
2
x
+
3
y
+
5
z
=
0
,
−
4
x
+
2
y
+
3
z
=
0.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}}
To lahko pišemo v matrični obliki:
[
2
3
5
0
−
4
2
3
0
]
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}
Z uporabo Gaussove eliminacijske metode dobimo:
[
1
0
1
/
16
0
0
1
13
/
8
0
]
.
{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}
Ponovno pisanje nam da:
x
=
−
1
16
c
y
=
−
13
8
c
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x=\;&&-{\frac {1}{16}}c\,\,\,\\y=\;&&-{\frac {13}{8}}c.\end{alignedat}}}
Sedaj lahko pišemo za ničelni prostor (rešitev za Ax = 0 ) izraženo v vrednosti za c, kjer je c skalar :
[
x
y
z
]
=
c
[
−
1
/
16
−
13
/
8
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}.}
Ker pa je c spremenljivka , lahko to poenostavimo v
[
x
y
z
]
=
c
[
−
1
−
26
16
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}
Ničelni prostor za A je množica rešitev teh enačb (v tem primeru je to premica skozi izhodišče v R 3 ).
Lastnosti podprostora
uredi
Ničelni prostor za m × n matrike je podprostor za Rn. Ta množica Null(A) ima naslednje lastnosti:
Null(A) vedno vključuje ničelni vektor .
Če je x ∈ Null(A) in y ∈ Null(A), potem velja x + y ∈ Null(A).
Če je x ∈ Null(A) in je c skalar , potem je tudi c x ∈ Null(A).
Na ničelni prostor matrike ne vplivajo elementarne vrstične operacije . To omogoča možnost uporabe zmanjšanja vrstic , da bi našli bazo za ničelni prostor:
Vhod m × n matrika A .Izhod baza ničelnega prostora A
Uporaba elementarnih vrstičnih operacij A v reduciranih vrstična ešelonska oblika .
Interpretacija reducirane vrstične ešelonske oblike kot homogenega linearnega sistema, ki določa katera od spremenljivk x 1 , x 2 , ..., xn so proste spremenljivke. Napišemo enačbe za odvisne spremenljivke v odvisnosti od prostih spremenljivk.
za vsako prosto spremenljivko xi , izberemo vektor v ničelnem prostoru za katerega je xi = 1 in ostale proste spremenljivke so nič. Nastala skupina vektorjev je baza za ničelni prostor v A . Na primer, predpostavimo, da ima reducirani vrstični ešelon obliko za A
[
1
0
−
3
0
2
−
8
0
1
5
0
−
1
4
0
0
0
1
7
−
9
0
0
0
0
0
0
]
.
{\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&-8\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}
V tem primeru ima rešitev homogenega sistema v parametrični obliki z x 3 , x 5 in x 6 kot prostimi spremenljivkami so
x
1
=
3
x
3
−
2
x
5
+
8
x
6
x
2
=
−
5
x
3
+
x
5
−
4
x
6
x
4
=
−
7
x
5
+
9
x
6
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&3x_{3}&&\;-\;&&2x_{5}&&\;+\;&&8x_{6}&\\x_{2}&&\;=\;&&-5x_{3}&&\;+\;&&x_{5}&&\;-\;&&4x_{6}&\\x_{4}&&\;=\;&&&&\;-\;&&7x_{5}&&\;+\;&&9x_{6}&.\end{alignedat}}}
To lahko zapišemo kot
[
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
]
=
x
3
[
3
−
5
1
0
0
0
]
+
x
5
[
−
2
1
0
−
7
1
0
]
+
x
6
[
8
−
4
0
9
0
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{bmatrix}}=x_{3}{\begin{bmatrix}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}+x_{5}{\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{bmatrix}}+x_{6}{\begin{bmatrix}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{bmatrix}}{\text{.}}}
Torej so trije vektorji
[
3
−
5
1
0
0
0
]
,
[
−
2
1
0
−
7
1
0
]
,
[
8
−
4
0
9
0
1
]
{\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\\mathbf {0} \\-7\\\mathbf {1} \\\mathbf {0} \end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\\mathbf {0} \\9\\\mathbf {0} \\\mathbf {1} \end{array}}\right]}
baza ničelnega prostora za A .
Nehomogene enačbe
uredi
Ničelni prostor ima prav tako svojo vlogo pri rešitvah nehomogenega sistema linearnih enačb:
A
x
=
b
ali
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle \mathbf {A} {\textbf {x}}={\textbf {b}}\;\;\;\;\;\;{\text{ali}}\;\;\;\;\;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}
Če sta u in v dve možni rešitvi zgornje enačbe, potem velja
A
(
u
−
v
)
=
A
u
−
A
v
=
b
−
b
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} ({\textbf {u}}-{\textbf {v}})=\mathbf {A} {\textbf {u}}-\mathbf {A} {\textbf {v}}={\textbf {b}}-{\textbf {b}}={\textbf {0}}\,}
To pa pomeni, da razlika dveh rešitev enačbe Ax = b leži v ničelnem prostoru matrike A .
Iz tega sledi, da se vsaka rešitev enačbe Ax = b lahko izrazi kot vsota fiksnih rešitev poljubnih elementov iz ničelnega prostora. To pomeni, da za množico rešitev enačbe Ax = b velja
{
v
+
x
:
x
∈
Null
(
A
)
}
,
{\displaystyle \left\{{\textbf {v}}+{\textbf {x}}\,:\,{\textbf {x}}\in {\text{Null}}(\mathbf {A} )\,\right\}{\text{,}}}
kjer je v poljuben fiksni vektor, ki zadošča pogoju Av = b . Geometrijsko je to pomeni, da je množica rešitev enačbe Ax = b preslikava ničelnega prostora za A z vektorjem v .
Opombe in sklici
uredi
↑ Linearna algebra, kot se obravnava tukaj, je zelo dobro osnovana matematična panoga, za katero je zelo veliko virov. Skoraj vse iz tega članka se najde v Lay 2005, Meyer 2001 in Strang 2005.
↑
Te enačbe uporabljajo notacijo množice .
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5714ae9767da1d68a8826f59d3f1df192764c1a7)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd8ba9c851e7adfab7845d89e0f4620e56be52d)
![{\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&-8\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15cb8fd313b02c7489cfac4a85124a92cf6620e)
![{\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\\mathbf {0} \\-7\\\mathbf {1} \\\mathbf {0} \end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\\mathbf {0} \\9\\\mathbf {0} \\\mathbf {1} \end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dcd1598136d5dd7f45e53928b2f3ce23ff8feab)
