Fresnelove enačbe

Fresnelove enačbe opisujejo obnašanje svetlobe (elektromagnetnega valovanja) na prehodu med dvema snovema z različnima lomnima količnikoma. Enačbe opisujejo amplitudo odbitega in prepuščenega dela elektromagnetnih valov.

Amplituda odbitega in prepuščenega vala.

Spremenljivke, ki se uporabljajo v Fresnelovih enačbah.
Vpadni žarek je označen s P, odbiti s Q, prepuščeni pa s S

Enačbe je vpeljal francoski fizik in izumitelj Augustin-Jean Fresnel (1788–1827).

Fizikalne osnove

Kadar se svetloba giblje iz sredstva z lomnim količnikom $n_{1}\!$ v drugo sredstvo z lomnim količnikom $n_{2}\!$, se del svetlobe odbije, del pa se lomi, in prehaja v drugo sredstvo. Lom svetlobe se izvede po običajnem lomnem zakonu. Koliki del svetlobe se odbije, pove odbojnost oziroma koeficient odbojnosti sredstva (oznaka $R\!$), del, ki pa se prepusti oziroma preide v drugo sredstvo, pa opisuje prepustnost in koeficient prepustnosti (oznaka $T\!$). Velikost obeh koeficientov je odvisna od polarizacije vpadne svetlobe. Koeficienta sta različna za svetlobo, ki je polarizirana v ravnini pravokotni na vpadno ravnino, in za svetlobo, ki je polarizirana v ravnini vzporedni vpadni ravnini.

Koeficient odbojnosti za svetlobo, ki je polarizirana pravokotno na vpadno ravnino, je enak:

$R_{s}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}\!\,,$

kjer je:

• $n_{1}\!$ lomni količnik prvega sredstva
• $n_{2}\!$ lomni količnik drugega sredstva
• $\theta _{i}\!$ vpadni kot
• $\theta _{r}\!$ odbojni kot
• $\theta _{t}\!$ lomni kot

Podobno je koeficient odbojnosti za svetlobo, ki je polarizirana vzporedno z vpadno ravnino:

$R_{p}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{t}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right]^{2}\!\,,$

kjer so oznake enake kot za s polarizirano svetlobo (zgoraj).

Različni avtorji navajajo različne obrazce, ki so na prvi pogled drugačni.

Pri tem sta pripadajoča koeficienta prepustnosti določena z $T_{s}=1-R_{s}\!$ in $T_{p}=1-R_{p}\!$ .

Kadar pa je vpadajoča svetloba nepolarizirana, je koeficient odbojnosti enak $R=(R_{s}+R_{p})/2\!$.

Pri določenem kotu za dani $n_{1}\!$ in $n_{2}\!$ pade $R_{p}\!$ na nič. V tem primeru se p polarizirana svetloba v celoti lomi. Ta kot se imenuje Brewstrov kot. Kadar se svetloba giblje iz optično manj gostega sredstva (lomni količnik $n_{1}\!$ ) v bolj gosto sredstvo (lomni količnik $n_{2}\!$) (to pomeni, da je $n_{1}>n_{2}\!$), se nad nekim vpadnim kotom (mejni kot) vsa svetloba odbije ( $R_{s}=R_{p}=1\!$ ). Ta pojav se imenuje popolni odboj.

Odvisnost koeficienta odboja od vpadnega kota.

Leva slika prikazuje prehod iz optično gostejšega sredstva v optično redkejše sredstvo (n₁ < n₂), desna slika pa prehod iz optično redkejšega v optično gostejše sredstvo (n₁ > n₂).

Uporaba

Fresnelove enačbe se uporabljajo pri izračunu jakosti odbitega signala v:

• optičnem vlaknu,
• merilniku OTDR.

Viri

• Hecht, Eugene (1987), Optics (2. izd.), Addison Wesley, ISBN 0-201-11609-X

Zunanje povezave

• Fresnelove enačbe na MathWorld (angleško)
• Opis Fresnelovih enačb (slovensko)