Enotska sfera

Nekaj enotskih sfer v . Oznaka pomeni normo.

Enotska sfera je v matematiki množica točk na razdalji 1 od središčne točke, To lahko enostavno povemo tudi, da je enotska sfera tista sfera, ki ima polmer enak 1.

Podobno lahko definiramo, da je enotska krogla množica točk, ki so na razdalji manjši ali enaki 1 od stalne središčne točke. Tako lahko govorimo o enotski sferi (površina) in enotski krogli (telo), Pomen enotske sfere je v tem, da lahko vsako sfero pretvorimo v enotsko sfero z uporabo translacije in skaliranja,

DefinicijaUredi

Naj bo   normirani vektorski prostor. V tem primeru imenujemo množico točk, katerih oddaljenost od ničelne točke je manjša od 1, odprta enotska sfera v  , kar lahko zapišemo kot

 .

Pri tem pa lahko označimo z

 

zaprto enotsko sfero v   in

  je enotska sfera v  .

Evklidski prostorUredi

V Evklidskem prostoru, ki ima   razsežnosti, je enotska sfera množica točk  , ki zadoščajo enačbi

 ,

množica toč, ki pa zadošča neenačbi

 

pa je enotska krogla.

Površina in prostorninaUredi

Označimo z   prostornino enotske sfere v   razsežnem prostoru. S   pa označimo površino krogle.

Prostornina krogle je enaka

 

kjer je

Hipervolumen   razsežne enotske sfere, to je površina   razsežne enotske krogle, ki ga označimo z   lahko zapišemo kot

 

kjer zadnja enačba velja samo za n > 0.

Površine in prostornine za nekatere vrednosti   so

    (površina)   (prostornina)
0   0,000   1,000
1   2,000   2,000
2   6,283   3,142
3   12,57   4,189
4   19,74   4,935
5   26,32   5,264
6   31,01   5,168
7   33,07   4,725
8   32,47   4,059
9   29,69   3,299
10   25,50   2,550

RekurzijaUredi

Vrednosti   za površino zadoščajo rekurziji

 
 
 
  za  .

Vrednosti za prostornino   pa zadoščajo rekurziji

 
 
  za  .

Površina   razsežne sfere s polmerom   je enaka   (  je površina). Prostornina   razsežne krogle s polmerom   pa je  . Primer: Površina trirazsežne krogle s polmerom   je  . Prostornina pa je  .

Enotska krogla v normiranih vektorskih prostorihUredi

Odprta enotska krogla v normiranem vektorskem prostoru   z normo   se opiše z

 .

Pomeni pa notranjost zaprte enotske krogle, ki pripada (V, ||·||)

 .

To pa sta disjunktni množici te krogle in njene skupne razmejitve z enotsko sfero (V,||·||)

 .

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi