Enotska sfera

Enotska sfera je v matematiki množica točk na razdalji 1 od središčne točke, To lahko enostavno povemo tudi, da je enotska sfera tista sfera, ki ima polmer enak 1.

Nekaj enotskih sfer v . Oznaka pomeni normo.

Podobno lahko definiramo, da je enotska krogla množica točk, ki so na razdalji manjši ali enaki 1 od stalne središčne točke. Tako lahko govorimo o enotski sferi (površina) in enotski krogli (telo), Pomen enotske sfere je v tem, da lahko vsako sfero pretvorimo v enotsko sfero z uporabo translacije in skaliranja,

DefinicijaUredi

Naj bo   normirani vektorski prostor. V tem primeru imenujemo množico točk, katerih oddaljenost od ničelne točke je manjša od 1, odprta enotska sfera v  , kar lahko zapišemo kot

 .

Pri tem pa lahko označimo z

 

zaprto enotsko sfero v   in

  je enotska sfera v  .

Evklidski prostorUredi

V Evklidskem prostoru, ki ima   razsežnosti, je enotska sfera množica točk  , ki zadoščajo enačbi

 ,

množica toč, ki pa zadošča neenačbi

 

pa je enotska krogla.

Površina in prostorninaUredi

Označimo z   prostornino enotske sfere v   razsežnem prostoru. S   pa označimo površino krogle.

Prostornina krogle je enaka

 

kjer je

Hipervolumen   razsežne enotske sfere, to je površina   razsežne enotske krogle, ki ga označimo z   lahko zapišemo kot

 

kjer zadnja enačba velja samo za n > 0.

Površine in prostornine za nekatere vrednosti   so

    (površina)   (prostornina)
0   0,000   1,000
1   2,000   2,000
2   6,283   3,142
3   12,57   4,189
4   19,74   4,935
5   26,32   5,264
6   31,01   5,168
7   33,07   4,725
8   32,47   4,059
9   29,69   3,299
10   25,50   2,550

RekurzijaUredi

Vrednosti   za površino zadoščajo rekurziji

 
 
 
  za  .

Vrednosti za prostornino   pa zadoščajo rekurziji

 
 
  za  .

Površina   razsežne sfere s polmerom   je enaka   (  je površina). Prostornina   razsežne krogle s polmerom   pa je  . Primer: Površina trirazsežne krogle s polmerom   je  . Prostornina pa je  .

Enotska krogla v normiranih vektorskih prostorihUredi

Odprta enotska krogla v normiranem vektorskem prostoru   z normo   se opiše z

 .

Pomeni pa notranjost zaprte enotske krogle, ki pripada (V, ||·||)

 .

To pa sta disjunktni množici te krogle in njene skupne razmejitve z enotsko sfero (V,||·||)

 .

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi