Dualna krivulja

Dualna krivulja je v projektivni geometriji za dano krivuljo $C\,$ krivulja v dualni projektivni ravnini, ki jo sestavlja množica tangentnih premic na $C\,$. Obstoja preslikava iz krivulje v njeno dualno obliko .

Krivulji, ki sta dualni druga drugi; glej spodaj Lastnosti.

Parametrična oblika dualne krivulje

Za parametrično določeno krivuljo je dualna krivulja definirana s parametričnima enačbama

$X[x,y]={\frac {y'}{yx'-xy'}}$

$Y[x,y]={\frac {x'}{xy'-yx'}}$

Dualna točka prevoja nam da točko obrata. Dve točki, ki imata skupno tangento, bosta dali točko, kjer dualna krivulja seka samo sebe.

Lastnosti

Gladke krivulje

• Če je $X\,$ gladka algebrska krivulja s stopnjo $d>1$, potem je dualna krivulja (običajno singularna) ravninska krivulja s stopnjo $d(d-1)$.

• Če je $d>2$, potem je $d-1>1$ in je $d(d-1)>d$ in dualna krivulja mora biti singularna.

• Če je $d=2$, je tudi stopnja dualne krivulje tudi 2. Dualna krivulja stožnice je tudi stožnica.

• Dualna krivulja premice je točka.

Singularne krivulje

• za poljubno ravninsko algebrsko krivuljo $X\,$ s stopnjo $d>1$ je njena dualna krivulja ravninska s stopnjo $d(d-1)-\delta$, kjer je $\delta$ število singularnosti na krivulji $X\,$. Pri tem se vse singularnosti ne upoštevajo enako. Vsak vozel se množi z 2, vsaka točka obrata s 3.

Posplošitve

Podobno je pri posplošitvah na več razsežnosti. Pri tem dobimo hiperploskve, ker v vsaki točki tangentnega prostora dobimo družino hiperploskev. Te definirajo dualno hiperploskev v dualnem prostoru.

Za poljubno zaprto podvarieteto $X\,$ v projektivnem prostoru tvori množica hiperravnin, ki so tangentne v neki točki $X\,$, zaprto podvarieteto dualno projektivni ravnini.

Glej tudi

• dualni mnogokotnik
• Plückerjev obrazec
• Houghova transformacija
• Gaussova preslikava

Zunanje povezave

• Dualna krivulja (angleško)