Dirichletova funkcija beta

Dirichletova funkcija beta (tudi Catalanova funkcija beta; običajna označba ) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija, tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ. Je posebni primer Dirichletove L-funkcije, L-funkcije z alternirajočim karakterjem periode 4. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu in včasih po belgijskem matematiku Eugèneu Charlesu Catalanu.

Graf Dirichletove funkcije beta na intervalu [−8, 8]

DefinicijaUredi

Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta:[1]

 

ali enakovredno kot:

 

kjer je   funkcija Γ. V obeh primerih je  .

S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot:[2]

 

na celi kompleksni  -ravnini.

Z Lerchevim transcendentom je določena kot:

 

ki spet velja za vse kompleksne vrednosti  .

Vrsta za Dirichletovo funkcijo β se lahko tvori tudi s pomočjo funkcije poligama:

 

Funkcijska enačbaUredi

Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine  . Dana je z:

 

ZnačilnostiUredi

Posebne vrednostiUredi

Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so:

 
  (OEIS A003881),
  Catalanova konstanta, (OEIS A006752),
  (OEIS A153071),
  (OEIS A175572),
  (OEIS A175571),
  (OEIS A258814),

kjer je zgoraj   zgled funkcije poligama.

Euler je pokazal, da je v splošnem za lihe  ,   racionalni mnogokratnik  , torej za poljubno pozitivno celo število  :

 

kjer so   Eulerjeva števila. Za celo število   velja:

 

oziroma:

 

Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta:

 
s približne vrednosti β(s) OEIS
1/5 0,5737108471859466493572665
1/4 0,5907230564424947318659591
1/3 0,6178550888488520660725389
1/2 0,6676914571896091766586909 A195103
1 0,7853981633974483096156608 A003881
2 0,9159655941772190150546035 A006752
3 0,9689461462593693804836348 A153071
4 0,9889445517411053361084226 A175572
5 0,9961578280770880640063194 A175571
6 0,9986852222184381354416008 A175570
7 0,9995545078905399094963465 A258814
8 0,9998499902468296563380671 A258815
9 0,9999496841872200898213589 A258816
10 0,9999831640261968774055407

Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala, da je vsaj eno od sedmih števil:  ,  ,  ,  ,  ,   ali   iracionalno.[3]

Guillera in Sondow sta leta 2005 dokazala formulo z dvojnim integralom:[4]

 

OdvajanjeUredi

Odvod za vse   je dan z:

 

Nekatere posebne vrednosti odvodov:

 
  (OEIS A113847),
 , (OEIS A078127).

Za pozitivna cela števila   velja še naprej:

 

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. Abramowitz; Stegun (1972), str. 807.
  2. "Dirichlet Beta - Hurwitz zeta relation". Engineering Mathematics (angleščina). 2012-11-08. Pridobljeno dne 2015-07-25.
  3. Rivoal; Zudilin (2003).
  4. Guillera; Sondow (2008).

ViriUredi

Zunanje povezaaveUredi