Cayleyjeva sekstika

Cayleyjeva sekstika (ali Cayleyjev sekstet) je v geometriji ravninska krivulja, ki spada v družino sinusoidnih spiral. Krivuljo je leta 1718 prvi obravnaval Colin Maclaurin. Arthur Cayley je krivuljo prvi podrobno raziskoval, leta 1900 pa jo je po njem imenoval Archibald.

Parametrični graf Cayleyjeve sekstike.

Krivulja je simetrična glede na os x ($y=0\,$) in seka samo sebe v točki $x=-a/8,y=0\,$. Druga presečišča so še v izhodišču, kjer je prevojna točka, v točki $(a,0)\,$ in z osjo y v točki $\pm 3/8{\sqrt {3}}\,$.

Cayleyjeva sekstika je nožiščna krivulja (ali ruleta) srčnice glede na njeno točko obrata.

Enačbe Cayleyjeve sekstike

Enačba Cayleyjeve sekstike v polarnih koordinatah je:

$r=4a\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}\!\,.$

Ena oblika v kartezičnih koordinatah je:

$4\left(x^{2}+y^{2}-ax\right)^{3}=27a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\!\,.$

Krivulja se lahko zapiše parametrično (kot periodična funkcija s periodo $\pi \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}\,$) z enačbama:

$x(t)=\cos ^{3}t\cos 3t\!\,,$

$y(t)=\cos ^{3}t\sin 3t\!\,.$

Singularna točka je v $\pm \pi /3\,$

Dolžina krivulje in ploščina

Dolžina celotne krivulje je enaka:

$s=6\pi a\!\,.$

Ploščina zunanje meje krivulje je:

$p=\left(5\pi +{\frac {1}{2}}9{\sqrt {3}}\right)a=23,50219\ldots a\!\,$ (OEIS A118308),

in ploščina notranje zanke:

$p_{\rm {Z}}={\frac {1}{2}}\left(5\pi -9{\sqrt {3}}\right)a^{2}=0,05975299\ldots a^{2}\!\,,$ (OEIS A118309).

Viri

• Darling, David (28. oktober 2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley and Sons, COBISS 55758593, ISBN 9780471667001
• Gibson, Christopher G. (2001), Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, ISBN 9780521011075
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover Publications, COBISS 8171097, ISBN 0-486-60288-5
• Morris, Christopher G. (1992), Academic Press Dictionary of Science and Technology, COBISS 2926887, ISBN 0-12-200400-0

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cayley's Sextic«. MathWorld.