Cauchyjeva matrika

Cauchyjeva matríka [košíjeva ~] je matrika z razsežnostjo $m\times n\,$, ki ima elemente v obliki:

$c_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n\!\,,$

kjer je:

• $x_{i}\,$ element obsega ${\mathcal {F}}$, elementi se med seboj razlikujejo
• $y_{j}\,$ element obsega ${\mathcal {F}}$, elementi se med seboj razlikujejo

Cauchyjeva matrika je posebni primer Hilbertove matrike, kjer je:

$x_{i}-y_{j}=i+j-1\!\,.$

Vsaka podmatrika Cauchyjeve matrike je tudi Cauchyjeva matrika.

Imenuje se po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789 – 1857).

Determinanta

Determinanta Cauchyjeve matrike se določi po naslednjem obrazcu:

$\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}\!\,.$

Determinanta je vedno neničelna, kar pomeni, da je Cauchyjeva matrika obrnljiva. Elementi obrnjene matrike $A^{-1}=B=b_{ij}\,$ so enaki:

$b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\!\,,$

kjer je:

• $A_{i}(x)\,$ Lagrangeev polinom za $x_{i}\,$
• $B_{i}(x)\,$ Lagrangeev polinom za $y_{i}\,$

kar je enako

$A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{in}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},$

in kjer je:

$A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{in}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).$.

Posplošitev

Vsaka matrika $C\,$ je Cauchyjevi podobna, če imajo njeni elementi obliko:

$c_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}\!\,.$

Glej tudi

• Toeplitzova matrika
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Cauchyjeva matrika na PlanethMath (angleško)