V trikotniku sta polmer včrtane krožnice r in polmer očrtane krožnice R povezana z enačbo:
1
R
−
x
+
1
R
+
x
=
1
r
,
{\displaystyle {\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}\!\,,}
kjer je x razdalja med središčema krožnic. To je ena različica Eulerjeve trikotniške enačbe :
x
2
=
R
(
R
−
2
r
)
.
{\displaystyle x^{2}=R(R-2r)\!\,.}
uredi
Vsi štirikotniki niso bicentrični . Za dani krožnici, eno znotraj druge, s polmeroma R in r , kjer je
R
>
r
{\displaystyle R>r}
če in samo če za polmera krožnic velja:
1
(
R
−
x
)
2
+
1
(
R
+
x
)
2
=
1
r
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}\!\,,}
kjer je x spet razdalja med središčema krožnic. Ta pogoj je znan kot Fussov izrek.
Pravilni mnogokotniki
uredi
Pri pravilnih mnogokotnikih sta krožnici istosrediščni in velja:
x
=
0
.
{\displaystyle x=0\!\,.}
To skupno središče je tudi baricenter pravilnega mnogokotnika.
Za nekatere pravilne mnogokotnike, ki se jih da skonstruirati s šestilom in neoznačenim ravnilom , velja:
n
{\displaystyle n\!\,}
r
{\displaystyle r\!\,}
R
{\displaystyle R\!\,}
a
{\displaystyle a\!\,}
3
R
2
=
a
6
3
{\displaystyle {\frac {R}{2}}={\frac {a}{6}}{\sqrt {3}}\!\,}
2
r
=
a
3
3
{\displaystyle 2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,}
2
r
3
=
R
3
{\displaystyle 2r{\sqrt {3}}=R{\sqrt {3}}\!\,}
4
R
2
2
=
a
2
{\displaystyle {\frac {R}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {a}{2}}\!\,}
r
2
=
a
2
2
{\displaystyle r{\sqrt {2}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\!\,}
2
r
=
R
2
{\displaystyle 2r=R{\sqrt {2}}\!\,}
5
R
4
(
5
+
1
)
=
a
10
25
+
10
5
{\displaystyle {\frac {R}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\!\,}
r
(
5
−
1
)
=
a
10
50
+
10
5
{\displaystyle r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,}
2
r
5
−
2
5
=
R
2
10
−
2
5
{\displaystyle 2r{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\!\,}
6
R
2
3
=
a
2
3
{\displaystyle {\frac {R}{2}}{\sqrt {3}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}\!\,}
2
r
3
3
=
a
{\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,}
2
r
3
3
=
R
{\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,}
8
R
2
2
+
2
=
a
2
(
2
+
1
)
{\displaystyle {\frac {R}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,}
r
4
−
2
2
=
a
2
4
+
2
2
{\displaystyle r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,}
2
r
(
2
−
1
)
=
R
2
−
2
{\displaystyle 2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,}
10
R
4
10
+
2
5
=
a
2
5
+
2
5
{\displaystyle {\frac {R}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\!\,}
r
5
50
−
10
5
=
a
2
(
5
+
1
)
{\displaystyle {\frac {r}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {5}}+1\right)\!\,}
2
r
5
25
−
10
5
=
R
2
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,}
Tu je r polmer včrtane krožnice, R polmer očrtane krožnice in a stranica .
