Barometrska enačba

Barométrska enáčba opisuje pojemanje tlaka $p\,$ z višino $z\,$ v izotermnem ozračju:

Zračni tlak in gostota zraka v odvisnosti od višine v ozračju (na grafu do 600 km)

Zračni tlak kot funkcija višine nad morsko gladino (do 20 km)

$p(z)=p_{0}e^{-z/z_{0}}\!\,.$

V realnem ozračju se temperatura z višino spreminja, zato velja ta zveza le približno.

Hidrostatična izpeljava

Izhaja se iz enačbe za hidrostatični tlak:

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} z}}=-\rho g\!\,.$

Iz splošne plinske enačbe se lahko izrazi gostoto zraka $\rho \,$:

$\rho ={\frac {Mp}{RT}}\!\,.$

Ko se to vstavi v prejšnjo enačbo in preuredi, se dobi:

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-{\frac {Mg}{RT}}\,\mathrm {d} z=-{\frac {\mathrm {d} z}{z_{0}}}\!\,.$

Vpeljala se je oznaka $z_{0}=RT/Mg\,$. Enačbo na levi strani se najprej integrira od $p_{0}\,$ do $p\,$, na desni pa od $z_{0}\,$ do $z\,$, zatem pa se jo še antilogaritmira, tako da se dobi:

$p=p_{0}e^{-z/z_{0}}\!\,.$

Statističnomehanska izpeljava

Izhaja se iz dejstva, da mora biti v ravnovesju kemijski potencial za vsako plast ozračja enak. V nasprotnem primeru bi neenakost kemijskih potencialov privedla do prenosa snovi med plastmi in porazdelitev snovi v ozračju ne bi bila ravnovesna.

Razliko kemijskih potencialov med izbrano referenčno ravnino ($z=0\,$) in poljubno drugo ravnino pri izbrani temperaturi $T\,$ se zapiše kot:

$\mu -\mu _{0}={\overline {H}}-{\overline {H}}_{0}+RT\ln {\frac {p}{p_{0}}}\!\,.$

Pri tem je $\mu \,$ kemijski potencial, $\mu _{0}\,$ njegova vrednost pri $z=0\,$, ${\overline {H}}$ entalpija na mol in ${\overline {H}}_{0}$ njena vrednost pri $z=0\,$, $p\,$ tlak in $p_{0}\,$ njegova vrednost pri $z=0\,$, $R\,$ pa splošna plinska konstanta. Zadnji člen izvira iz izraza za spremembo entropije pri izotermni spremembi.

Brez izgube splošnosti se lahko postavi ${\overline {H}}_{0}=0\,$. Na višini $z\,$ je entalpija večja od referenčne za težnostno potencialno energijo:

${\overline {H}}=Mgz\!\,.$

Pri tem je $M\,$ molska masa plina, $g\,$ pa težni pospešek. Odtod se dobi zvezo:

$Mgz=-RT\ln {\frac {p}{p_{0}}}\!\,.$

Če se jo antilogaritmira, se dobi izraz za pojemanje gostote z višino:

$p(z)=p_{0}\exp \left(-{\frac {Mgz}{RT}}\right)\!\,.$

Izraz je identičen prej izpeljanemu, če se postavi $z_{0}=RT/Mg\,$.