Apolonijev izrek je izrek, ki povezuje dolžino mediane trikotnika z dolžinami njegovih stranic. Izrek pravi, da je

Ploščina zelenih/modrih ploskev je enaka ploščini rdečih
Pitagorov izrek je poseben primer Apolonijevega izreka:
ploščina zelene ploskve je enaka vsoti ploščin rdečih ploskev
»vsota kvadratov katerih koli dveh stranic katerega koli trikotnika enaka vsoti dveh kvadratov polovice tretje stranice in dveh kvadratov mediane, ki razpolavlja tretjo stranico«.

Izrek je dobil ime po njegovem odkritelju, matematiku Apoloniju iz Perge.

Za kateri koli trikotnik z mediano torej velja, da je

Apolonijev izrek je poseben primer Stewartovega izreka.

V enakokrakem trikotniku s stranicama je mediana pravokotna na stranico , zato se izrek reducira na Pitagorov izrek za trikotnik ali trikotnik . Ker se diagonali paralelograma razpolavljata, je izrek enakovreden zakonu o paralelogramu.

Dokaz

uredi
 
Dokazovanje Apolonijevega izreka

Naj ima trikotnik s stranicami   mediano  , narisano na stranico  .   naj bo dolžina odsekov stranice   ki ju tvori mediana.   je torej enak polovici stranice  . Kota med   in   naj bosta   in   in sicer:   naj vključuje stranico   in   stranico  .   je torej suplementaren kotu  , zato velja, da je   Kosinusni izrek[1] za kota   in   pravi, da je

 

S seštevanjem prve in tretje enačbe dobimo, da je

 ,

kot je zahtevano.

Sklic

uredi
  1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. str. 20.