Znamenite točke trikotnika

Znamenita točka trikotnika (tudi posebna ali značilna točka trikotnika ali središče trikotnika) je točka v ravnini, kjer se sekajo posebne premice ali tudi krožnice. Te točke imajo zanimive geometrijske lastnosti.

Prve znamenite točke trikotnika so odkrili že stari Grki, čeprav jih niso nikoli primerno definirali. Za njimi so odkrili še celo vrsto znamenitih točk trikotnika kot so Fermatova točka, simedianska točka, Feuerbachova točka, Gergonnova točka itd. Med porastom zanimanja za geometrijo trikotnika v letih 1980 so opazili, da imajo znamenite točke nekatere zanimive lastnosti, ki dandanes tvorijo osnovo definicije znamenitih točk trikotnika. Vse točke so sedaj zbrane v Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) (Enciklopedija znamenitih točk trikotnika), kjer je bilo 26.maja 2010 navedenih 3587 znamenitih točk trikotnika. Vsako od teh središč (točk) je dobilo svoje enolično ime in oznako, ki jo sestavljata X in kot indeks zaporedna številka iz Enciklopedije. Kadar pa ni bilo možno za točko dati neko zgodovinsko ali geometrijsko ime, so uporabili imena zvezd za poimenovanje posebnih točk trikotnika.

Definicija

Realna funkcija $f\,$ treh spremenljivk $a,{\text{ }}b,{\text{ }}c\,$ ima naslednje lastnosti:

• homogenost $f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)\,$ za poljubno konstanto $n\,$ ter za vse $t>0\,$
• bisimetrijo v drugi in tretji spremenljivki $f(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)=f(a,{\text{ }}c,{\text{ }}b)$.

Kadar ima neničelna funkcija $f\,$ obe zgornji lastnosti, jo imenujemo funkcija znamenite točke trikotnika. Kadar je $f\,$ funkcija znamenite točke trikotnika in so $a,{\text{ }}b,{\text{ }}c$ dolžine stranic pripadajočega trikotnika, potem se točka, ki ima trilinearne koordinate $f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$ imenuje znamenita točka trikotnika.

Nekatere znane znamenite točke trikotnika

Klasične posebne točke trikotnika

mesto v ETC	ime	oznaka	trilinearni koordinatni sistem
X1	središče včrtane krožnice	I	1 : 1 : 1
X2	težišče	G	bc : ca : ab
X3	središče očrtane krožnice	O	cos A : cos B : cos C
X4	višinska točka	H	sec A : sec B : sec C
X5	središče krožnice   devetih točk	N	cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)
X6	simedianska točka	K	a : b : c
X7	Gergonnova točka	Ge	bc/(b + c − a) : ca/(c + a − b) : ab/(a + b − c)
X8	Nagelova točka	Na	(b + c − a)/a : (c + a − b)/b: (a + b − c)/c
X9	mittenpunkt	M	b + c − a : c + a − b : a + b − c
X10	Spiekerjeva točka	Sp	bc(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b)
X11	Feuerbachova točka	F	1 − cos(B − C) : 1 − cos(C − A) : 1 − cos(A − B)
X13	Fermatova točka	X	csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)     *
X15 X16	izodinamični točki	S S′	sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3)       sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)
X17 X18	Napoleonove točke	N N′	sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3)       sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)
X99	Steinerjeva točka	S	bc/(b2 − c2) : ca/(c2 − a2) : ab/(a2 − b2)

(*) : to je prvi izogonski center, tudi Fermatova točka, če je A,B,C ≤ 2π/3

Novejše posebne točke trikotnika

V naslednjem delu preglednice so podane novejše posebne točke trikotnika.

mesto (oznaka) v ETC	ime	funkcija znamenite točke f(a,b,c)
X21	1/(cos B + cos C)
X22	Exeterjeva točka	a(b4 + c4 − a4)
X111	Parryjeva točka	a/(2a2 − b2 − c2)
X173	tan(A/2) + sec(A/2)
X174	Yff središče kongruence	sec(A/2)
X175	izoperimetrična točka	− 1 + sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2)
X179	prva Ajima–Malfattijeva točka	sec4(A/4)
X181	Apolonijeva točka	a(b + c)2/(b + c − a)
X192	točka enakih vzporednic	bc(ca + ab − bc)
X356	Morleyjevo središče	cos(A/3) + 2 cos(B/3) cos(C/3)
X360	Hofstadterjeva točka	A/a
X401	Baileyjeva točka	[sin(2B) sin(2C) − sin2(2A)] csc A

.

Splošne oblike znamenitih točk trikotnika

Kinberlingova znamenita točka

Clark Kimberling (rojen 1942) je pripravil enciklopedijo več kot 3500 znamenitih točk trikotnika. Te točke v njegovo čast imenujemo Kimberlingove znamenite točke .

Polinomska znamenita točka

Znamenita točka trikotnika se imenuje polinomska znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate točke izrazimo kot polinom koordinat a, b in c.

Glavne znamenite točke

Znamenita točka trikotnika se imenuje glavna znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate izrazimo v obliki $f(A):f(B):f(C)$ tako, da je $f(A)$ funkcija vrednosti A. Podobno velja za $f(B)$ in $f(C)$

Običajne znamenite točke

Znamenita točka trikotnika se imenuje običajna znamenita točka trikotnika, kadar trilinearne koordinate lahko izrazimo kot polinome vrednosti Δ, a, b in c, kjer je Δ ploščina trikotnika

Transcendentne znamenite točke

Znamenita točka trikotnika je transcendentna znamenita točka, če točke ne moremo predstaviti s trilinearnimi koordinatami oziroma samo z uporabo algebrskih funkcij za $(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)\,$.

Zunanje povezave

• Posebna točka trikotnika na MathWorld (angleško)
• Enciklopedija središč trikotnika (angleško)
• Središča trikotnika na MathWorld (angleško)
• Središča trikotnika Arhivirano 2010-06-20 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Središča trikotnika (angleško)