Vozli Čebišova

Vôzli Čebišova [~ čebíšova] (tudi vozli Čebiševa) so v matematiki in numerični analizi ničle polinomov Čebišova. Pri izbiri za interpolacijo so zelo pripravni in z njimi se lahko ogne problemom Rungejevega pojava.

Za n vozlov na intervalu [-1, 1] se lahko vozle Čebišova določi kot:

$x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)\!\,,$

kjer je:

$1\leq i\leq n\!\,.$

Za poljuben interval [a, b] se lahko uporabi linearno transformacijo, da se dobi:

$x_{i}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)\!\,.$

Dokaz

Naj je T_n polinom Čebišova oblike:

$T_{n}(x)=\cos(n\cos ^{-1}(x))\!\,.$

Funkcija kosinus ima periodične ničle:

$r_{i}=(2i-1){\frac {\pi }{2}}\!\,$

za vsak cel i, kar da:

$T_{n}(x_{i})=\cos(n\cos ^{-1}(x_{i}))=\cos(r_{i})=0\!\,.$

Tako ničle polinomov Čebišova nastopajo pri:

$n\cos ^{-1}(x_{i})=r_{i}\!\,,$

kar se lahko reši za x_i, da se dobi:

$x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)\!\,.$