Mediana (geometrija)

Ne zamenjajte za Mediana.

Mediana (tudi težiščna premica ali težiščnica) je v geometriji daljica, ki v trikotniku povezuje oglišče z razpoloviščem oglišču nasprotne stranice. Vsak trikotnik ima natančno tri mediane.

Mediane in težišče trikotnika.

Odnos mediane do težišča

Vsaka mediana teče skozi težišče trikotnika. Težišče trikotnika je središče mas telesa, ki ima enakomerno gostoto in ima obliko trikotnika.

Delitev trikotnika na dva dela

Vsaka mediana deli trikotnik na dve enaki polovici. Zaradi tega ima ta daljica tudi takšno ime. Vse ostale daljice, ki delijo trikotnik na dva enaka dela, ne tečejo skozi težišče trikotnika. Tri mediane delijo trikotnik na šest delov z enako ploščino.

Dolžina mediane

Dolžine median lahko dobilo iz Apolonijevega izreka, ki nam da

$m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},$

$m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},$

$m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},$

kjer so

• $a,{\text{ }}b,{\text{ }}c$ stranice trikotnika
• $m_{a},{\text{ }}m_{b},{\text{ }}m_{c}$ pripadajoče mediane

Iz tega dobimo naslednje zveze

$a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},$

Iz tega dobimo naslednje zveze

$b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},$

$c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}$.

Lastnosti mediane

Mediana ima kar nekaj zanimivih lastnosti:

• mediana deli ploščino trikotnika na dva enaka dela
• mediane se sekajo v težišču
• v vsakem trikotniku velja .

${\tfrac {3}{4}}$(obseg) < vsota median < ${\tfrac {3}{2}}$(obseg).

• v vsakem trikotniku s stranicami $a,{\text{ }}b,{\text{ }}c$ in medianami $m_{a},{\text{ }}m_{b},{\text{ }}m_{c}$

velja tudi

${\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$.

Zunanje povezave

• Mediana na MathWorld (angleško)
• Mediana na ProofWiki (angleško)