Steinerjev izrek

Steinerjev izrek (tudi Huygens-Steinerjev izrek ali redkeje izrek o vzporedni osi) v fiziki podaja masni vztrajnostni moment J_ζ togega telesa okrog dane osi vrtenja ζ:

Masni vztrajnostni moment valja okrog tvorilke ζ

Steinerjev izrek za vztrajnostni moment ploskve

$J_{\zeta }=J^{\star }+mr^{\star 2}\!\,,$

kjer je J^* vztrajnostni moment okrog vzporedne osi skozi težišče telesa, m masa telesa in r^* pravokotna razdalja med osema.

S Steinerjevim izrekom se včasih ognemo integriranju. Zgled je vztrajnosti moment valja okrog tvorilke ζ:

$J_{\zeta }=J_{z}+mr^{\star 2}={\frac {1}{2}}mr^{2}+mr^{2}={\frac {3}{2}}mr^{2}\!\,.$

Steinerjev izrek velja tudi za vztrajnostna momenta ploskve:

$I_{u}=I_{x}^{\star }+Sa^{\star 2}\!\,,$

$I_{v}=I_{y}^{\star }+Sb^{\star 2}\!\,.$

Izrek se imenuje po švicarskem matematiku Jakobu Steinerju. Izreku rečejo včasih tudi Steinerjevo pravilo ali kar Steinerjeva enačba.

Izpeljava

Brez izgube splošnosti lahko privzamemo, da v kartezičnem koordinatnem sistemu pravokotna razdalja med osema leži vzdolž osi x in, da težišče leži v koordinatnem izhodišču. Masni vztrajnostni moment glede na os z, ki gre skozi težišče, je:

$J_{z}=\int {(x^{2}+y^{2})}\,{\rm {d}}m\!\,.$

Masni vztrajnostni moment glede na novo os na pravokotni razdalji r^* vzdolž osi x iz težišča je:

$J_{\zeta }=\int {((x-r^{\star })^{2}+y^{2})}\,{\rm {d}}m\!\,.$

Če izraz razširimo, dobimo:

$J_{\zeta }=\int {(x^{2}+y^{2})}\,{\rm {d}}m+r^{\star 2}\int {\rm {d}}m-2r^{\star }\int {x}\,{\rm {d}}m\!\,.$

Prvi člen je J_z, drugi mr^*2, zadnji pa je enak 0, ker je izhodišče v težišču. Tako je končno:

$J_{\zeta }=J_{z}+mr^{\star 2}\!\,,$