Stefanova naloga

Stefanova naloga [štéfanova nalóga/náloga] (tudi Stefanov problem [~ problém]) je v matematiki in njenih uporabah, še posebej pri faznih prehodih v snovi, posebni primer problema mejnih vrednosti za parabolično parcialno diferencialno enačbo, prilagojeno za primer v katerem se lahko fazna meja s časom premika. Klasična Stefanova naloga poskuša opisovati porazdelitev temperature v homogeni snovi med faznim prehodom, na primer prehajanje ledu v kapljevinsko vodo, z reševanjem enačbe za prevajanje toplote, kjer se določi začetna porazdelitev temperature po celotni snovi in delni robni pogoj, Stefanov pogoj, o nastajanju meje med dvema fazama. Ta nastajajoča meja je neznana (hiper)|ploskev, Stefanove naloge pa so primeri nalog s premično mejo.

Omejitev meje delitve faz s časom pri vzajemni difuziji.

Naloga se imenuje po Jožefu Stefanu, ki je okoli leta 1890 obravnaval splošni razred takšnih nalog v povezavi z nastankom ledu in faznima prehodoma izparevanjem in taljenjem kot difuzijskima pojavoma. O tem je med letoma 1889 in 1891 objavil šest člankov. Joseph Black je v vrsti poskusov z vodo in ledom na Univerzi v Glasgowu med letoma 1758 in 1762 pokazal, da se faznega prehoda iz trdnine v kapljevino ne da kalorično pojasniti s samo občutno toploto, in je uvedel pojem latentne toplote.

Fourier je v svojem delu La Théorie Analytique de la Chaleur, objavljenem leta 1822, podal potrebna fizikalna in matematična orodja za prevajanje toplote in podal zakon o prevajanju toplote:

${\vec {\mathbf {j} }}=-\lambda \nabla T\!\,,$

kjer je ${\vec {\mathbf {j} }}$ gostota toplotnega toka, λ toplotna prevodnost in ∇ T gradient temperature. Zamisel kako analitično vključiti latentno toploto v enačbe prevajanja toplote sta prva v Evropi pojasnila Lamé in Clapeyron leta 1831. Tudi Neumann je v zgodnjih 1860-ih rešil podobni primer v neobjavljenih predavanjih na Univerzi v Königsbergu. Lamé in Clapeyron sta poskusila določiti debelino trdninske plasti, tvorjene s kapljevino, ki napolnjuje polprostor $x>0\,$ pod vplivom konstantne temperature v ravnini $x=0\,$. Temperatura kapljevinske faze je na začetku povsod enaka kristalizacijski. Pokazala sta, da je debelina plasti sorazmerna s kvadratnim korenom časa, nista pa določila sorazmernostnega koeficienta.

Glej tudi

• problem prostih mej
• metoda končnih razlik
• Asen Dacev
• Olga Arsenjevna Olejnik
• Sošana Kamin
• Stefanova enačba
• Neummanov mejni pogoj

Viri

• Ayasoufi, Anahita (2004), »Numerical simulation of heat conduction with melting and/or freezing by space-time conservation element and solution element method« (PDF), Doktorska dizertacija, Univerza v Toledu (v angleščini), arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 6. oktobra 2008, pridobljeno 4. oktobra 2010
• Crank, John (1984), Free and Moving Boundary Problems, Oxford: Clarendon Press, str. 425
• Jonsson, Tobias (2003). On the one dimensional Stefan problem with some numerical analysis (PDF) (Disertacija, 15hp). Oddelek za matematiko in matematično statistiko, Univerza v Umeu. Pridobljeno 19. oktobra 2022.
• Južnič, Stanislav (Marec 2021), »Stefanova naloga«, Obzornik za matematiko in fiziko, 68 (1): 10–17, COBISS 69900291, ISSN 0473-7466
• Rubenšteĭn, Lev Isakovich (1971), The Stefan Problem, (Translations of Mathematical Monographs), zv. 27, Providence, Rhode Island: Ameriško matematično društvo, ISBN 0-8218-1577-6, Zbl 0219.35043 Prevod iz ruščine (Проблема Стефана, Riga: Zvajgene, 1967) A. D. Solomon.
• Stefan, Jožef (1889), »O teoriji nastanka ledu, posebno še o nastanku ledu v polarnem morju (Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung im Eismeere)«, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien (SAW), 98 (II a): 965–983. Tudi Monatshefte der Mathematik und Physik, zvezek 1, str. 1–5, 1890; in WA 42, str. 625, 1891.
• Vuik, Cornelis (1993), »Some historical notes about the Stefan problem« (PDF), Nieuw Archief voor Wiskunde, (4e serie), Fakulteta za tehniško matematiko in informatiko, Tehniška univerza v Delftu, 11 (2): 157–167, Bibcode:1993STIN...9332397V, ISSN 0028-9825, MR 1239620, Zbl 0801.35002. Preprint različica v formatu PDF je na voljo tukaj[1].