Statistična vsota

Statistična vsota (ali tudi particijska funkcija, navadno se jo označuje s črko Z) je v statistični mehaniki fizikalna količina, ki opisuje sistem v toplotnem ravnovesju. Za zaprti sistem z disktretnimi energijskimi stanji se jo lahko izračuna kot

$Z=\sum _{i}\exp \left(-{\frac {E_{i}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\!\,.$

Pri tem je E_i energija i-tega stanja, k_B Boltzmannova konstanta, T pa absolutna temperatura. Indeks i teče po vseh energijskih stanjih.

Statistična vsota igra pomembno vlogo pri številnih pojmih statistične mehanike.

Boltzmannova porazdelitev

Boltzmannova porazdelitev opisuje sistem razločljivih delcev v toplotnem ravnovesju pri dani temperaturi. Zanje velja, da verjetnostna gostota za zasedenost energijskega nivoja eksponentno pojema z njegovo energijo:

$w(E_{i})={\frac {N_{i}}{\sum _{i}N_{i}}}={\frac {e^{-E_{i}/k_{\rm {B}}T}}{\sum _{i}e^{-E_{i}/k_{\rm {B}}T}}}\!\,.$

Imenovalec je ravno statistična vsota.

Odvisnost statistične vsote od temperature

Z naraščajočo temperaturo statistična vsota narašča. Če se izhodišče energijske skale postavi v osnovni energijski nivo, predstavlja statistična vsota merilo za to, kako je z naraščanjem temperature zasedenih vse več energijskih nivojev.

Prosta energija

Statistična vsota je povezana s termodinamičnim potencialom, imenovanim prosta energija F:

$Z=e^{-\beta F}\!\,.$

Zaradi krajšega zapisa se je vpeljala količina $\beta =1/(k_{\rm {B}}T)$, inverzno temperaturo.

Povprečna energija sistema

Če se pozna odvisnost statistične vsote od temperature, se lahko izračuna povprečno energijo sistema.

$\langle E\rangle =\sum _{i}w(E_{i})E_{i}={\frac {\sum _{i}E_{i}e^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}}=\sum _{i}E_{i}e^{\beta (F-E_{i})}\!\,.$

Slednjo vsoto se najlažje izračuna, če se odvaja po β naslednji izraz, ki velja zaradi normalizacije (po vseh stanjih morajo biti porazdeljeni ravno vsi delci):

$\sum _{i}e^{-\beta (F-E_{i})}=1\!\,$

Velja:

$0={\frac {\partial }{\partial \beta }}\sum _{i}e^{-\beta (F-E_{i})}=\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial \beta }}e^{-\beta (F-E_{i})}=-F\sum _{i}e^{-\beta (F-E_{i})}+\sum _{i}E_{i}e^{-\beta (F-E_{i})}\!\,.$

Zadnji izraz je ravno iskani izraz. Odtod se dobi:

$\langle E\rangle ={\frac {\mathrm {d} (\beta F)}{\mathrm {d} \beta }}\!\,.$

Glej tudi

• Boltzmannov faktor

Viri

• D. A. McQuarrie (1976), Statistical mechanics, New York, Harper & Row. (COBISS)
• T. L. Hill (1986), An introduction to statistical thermodynamics, New York, Dover Publications. (COBISS)