Simplektična matrika matrike
M
{\displaystyle M\,}
matrika z razsežnostjo
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n\,}
M
T
Ω
M
=
Ω
,
{\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega \ \!\,,}
kjer je:
Običajno se za
Ω
{\displaystyle \Omega \,}
bločna matrika oblike:
Ω
=
[
0
I
n
−
I
n
0
]
,
{\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}\!\,,}
kjer je:
I
n
{\displaystyle I_{n}\,}
enotska matrika z razsežnostjo
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
Značilnosti
uredi
simplektična matrika je obrnljiva . Obratna matrika je
M
−
1
=
Ω
−
1
M
T
Ω
.
{\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega .}
produkt dveh simplektičnih matrik je zopet simplektična matrika. Tako množica simplektičnih tvori grupo . Obstoja tudi naravna mnogoterost v tej grupi, ki jo vključuje med Liejeve grupe in jo tam imenujemo simplektična grupa .
determinanta simplektične matrike je ±1.če je
Ω
{\displaystyle \Omega \,}
M
{\displaystyle M\,}
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n\,}
bločne matrike
M
=
(
A
B
C
D
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}
kjer so
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D\,}
n
×
n
{\displaystyle n\times n\,}
potem so pogoji, da je matrika
M
{\displaystyle M\,}
A
T
D
−
C
T
B
=
I
{\displaystyle A^{T}D-C^{T}B=I\,}
A
T
C
=
C
T
A
{\displaystyle A^{T}C=C^{T}A\,}
D
T
B
=
B
T
D
{\displaystyle D^{T}B=B^{T}D\,}
