Seznam pravilnih poliedrov
Trenutno poznamo 48 različnih pravilnih poliedrov, ti se delijo na konveksne in konkavne. V tem seznamu so razporejene glede na odkritelje in sicer po kronološkem zaporedju od nam najdlje poznanih do nazadnje odkritih leta 1997.[1]
Kriteriji uredi
Obstaja več različnih definicij za pravilne poliedre, tukaj je uporabljena definicija, ki jo podpira največ ljudi:
- polieder mora imeti skladne vse stranice, mejne ploskve in oglišča
- polieder mora biti v 3D evklidskem prostoru
- nobena stranica, oglišče ali mejna ploskev ne sme ležati na drugem, lahko pa se sekajo
S tako definicijo dobimo 48 pravilnih poliedrov, navedenih v spodnjem seznamu.
Platonska telesa uredi
Platonska telesa so poliedri, na katere običajno mislimo, ko govorimo o pravilnih poliedrih. Najstarejši zapis platonskih teles sega v 360 pr. n. št., ko jih Platon opiše v svojem dialogu Timaeus.
Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Dual | Petrial |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
tetraeder | {3, 3} | 6 | 4 | 4 | tetraeder | petrialni tetraeder | ||
heksaeder (kocka) | {4, 3} | 12 | 8 | 6 | oktaeder | petrialni heksaeder | ||
oktaeder |
trikotnik |
{3, 4} | 12 | 6 | 8 | heksaeder | petrialni oktaeder | |
dodekaeder | {5, 3} | 30 | 20 | 12 | ikozaeder | petrialni dodekaeder | ||
ikozaeder |
trikotnik |
{3, 5} | 30 | 12 | 20 | dodekaeder | petrialni ikozaeder |
Keplerjeva telesa uredi
Keplerjevi telesi sta dva nekonveksna pravilna poliedra, ki imata za osnovno ploskev petagram. Odkril ju je Johannes Kepler okoli leta 1619.
Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Dual | Petrial |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
mali stelirani dodekaeder |
pentagram |
{5/2, 5} | 30 | 12 | 12 | veliki dodekaeder | petrialni mali stelirani dodekaeder | |
veliki stelirani dodekaeder |
pentagram |
{5/2, 3} | 30 | 20 | 12 | veliki ikozaeder | petrialni veliki stelirani dodekaeder |
Poinsotova telesa uredi
Poinsotovi telesi je odkril Louis Poinsot leta 1806, ko je iskal duale keplerjevih teles.
Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Dual | Petrial |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
veliki ikozaeder | {3, 5/2} | 30 | 12 | 20 | mali stelirani dodekaeder | petrialni veliki ikozaeder | ||
veliki dodekaeder | {5, 5/2} | 30 | 12 | 12 | veliki stelirani dodekaeder | petrialni veliki dodekaeder |
Evklidsko tlakovanje uredi
Evklidsko tlakovanje je tlakovanje ravnine z enakimi pravilnimi mnogokotniki. Ravnino lahko prekrijejo le kvadratno, šestkotno in trikotno tlakovanje. Ker se tlakovanja nadaljujejo v neskončnost, je število stranic, oglišč in mejnih ploskev neskončno.
Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Dual | Petrial |
---|---|---|---|---|---|
trikotno tlakovanje | {3, 6} | šestkotno tlakovanje | petrialno trikotno tlakovanje | ||
kvadratno tlakovanje | {4, 4} | kvadratno tlakovanje | petrialno kvadratno tlakovanje | ||
šestkotno tlakovanje | {6, 3} | trikotno tlakovanje | petrialno šestkotno tlakovanje |
Petrie-coxeterjeva telesa uredi
John Flinders Petrie je leta 1926 generaliziral definicijo pravilnih poliedrov, preko katere je Harold Scott MacDonald Coxeter odkril še tri nove neskončne pravilne poliedre.
Petriali uredi
Petriali so telesa, ki izgledajo enako, kot njihovi petrialni pari, ampak imajo za osnovno ploskev izkrivljen mnogokotnik. Tako je John Flinders Petrie odkril 15 novih pravilnih poliedrov.
Ime | Slika | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Št. stranic | Št. oglišč | Št. mejnih ploskev | Petrial |
---|---|---|---|---|---|---|---|
petrialni tetraeder |
izkrivljen kvadrat |
{4, 3}3 | 6 | 4 | 3 | tetraeder | |
petrialni heksaeder |
izkrivljen šestkotnik |
{6, 3}4 | 12 | 8 | 4 | heksaeder | |
petrialni oktaeder |
izkrivljen šestkotnik |
{6, 4}3 | 12 | 6 | 4 | oktaeder | |
petrialni dodekaeder |
izkrivljen desetkotnik |
{10, 3} | 30 | 20 | 6 | dodekaeder | |
petrialni ikozaeder |
izkrivljen desetkotnik |
{10, 5} | 30 | 12 | 6 | ikozaeder | |
petrialni mali stelirani dodekaeder |
izkrivljen šestkotnik |
{6, 5} | 30 | 12 | 10 | mali stelirani dodekaeder | |
petrialni veliki dodekaeder |
izkrivljen šestkotnik |
{6, 5/2} | 30 | 12 | 10 | veliki dodekaeder | |
petrialni veliki stelirani dodekaeder |
izkrivljen dekagram |
{10/3, 3} | 30 | 20 | 6 | veliki stelirani dodekaeder | |
petrialni veliki ikozaeder |
izkrivljen dekagram |
{10/3, 5/2} | 20 | 30 | 6 | veliki ikozaeder | |
petrialno trikotno tlakovanje | šestdesetstopinjski cikcak | {∞, 6}3 | ∞ | ∞ | ∞ | trikotno tlakovanje | |
petrialno kvadratno tlakovanje | devetdesetstopinjski cikcak | {∞, 4}4 | ∞ | ∞ | ∞ | kvadratno tlakovanje | |
petrialno šestkotno tlakovanje | stodvajsetstopinjski cikcak | {∞, 3}6 | ∞ | ∞ | ∞ | šestkotno tlakovanje | |
petrialna mukocka | devetdesetstopinjski izkrivljeni cikcak | {∞, 6}4,4 | ∞ | ∞ | ∞ | mukocka | |
petrialni muoktaeder | stodvajsetstopinjski izkrivljeni cikcak | {∞, 4}6,4 | ∞ | ∞ | ∞ | muoktaeder | |
petrialni mutetraeder | stodavjsetstopinjski izkrivljeni cikcak | {∞, 6}6,3 | ∞ | ∞ | ∞ | mutetraeder |
Mešani apeiroedri (blended apeiroehedra) uredi
“Mešani” apeiroedri so izpeljani iz pravilnih planarnih apeiroedrov (trikotno, kvadratno in šestkotno tlakovanje ter njihovi petriali). Pravilnih imen apeiroedrov v slovenščini še nimamo, zato so imena na tem seznamu le dobesedni prevod angleških.
“Mešani“ apeiroedri pomeni, da apeiroedri niso planarni, temveč so izkrivljeni v tretjo dimenzijo. To lahko naredimo na dva načina. Lahko periodično dvigujemo in nižamo oglišča (“mešanje s segmentom”), lahko pa celoten apeiroeder spiralno širimo v tretji dimenziji (“mešanje z apeirogonom”). Tako dobimo 12 različnih “mešanih” apeiroedrov.[1]
Mešani apeiroedri s procesom mešanja s segmentom (blended apeirohedra – blends with segments) uredi
Mešani apeiroedri s procesom mešanja z apeiroedrom uredi
Ime | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Petrial |
---|---|---|---|
trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | izkrivljen kvadrat | {3, 6} # {∞} | pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | izkrivljen šestkotnik | {4,4} # {∞} | pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | izkrivljen desetkotnik | {6, 3} # {∞} | pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
pertialni trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | šestdesetstopinjski ukrivljeni cikcak | {∞, 6}3 # {∞} | trikotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
pertialni kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | devetdesetstopinjski ukrivljeni cikcak | {∞, 4}4 # {∞} | kvadratni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
pertialni šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom | stodvajsetstopinjski ukrivljeni cikcak | {∞, 3}6 # {∞} | šestkotni mešani apeiroeder s procesom mešanja z apeiroedrom |
Čisti Grünbaum-Dress poliedri uredi
To je šest najbolj kompleksnih in najtežje razumljivih pravilnih poliedrov. Vsi so neskončnih razsežnosti, pridobljeni pa so posredno ali neposredno iz petrie-coxeterjevih teles. Odkriti so bili leta 1997.[1]
Ime | Osnovna ploskev | Schläfliev simbol | Petrial |
---|---|---|---|
razpolovljena mukocka | izkrivljen šestkotnik | {6, 6}4 | petrialna razpolovljena mukocka |
petrialna razpolovljena mukocka | izkrivljen kvadrat | {4, 6}6 | razpolovljena mukocka |
dual petrialne razpolovljene kocke | izkrivljen šestkotnik | {6, 4}6 | / |
trihelično kvadratno tlakovanje | cikcak | {∞, 3} | tetrahelično trikotno tlakovanje |
tetrahelično trikotno tlakovanje | cikcak | {∞, 3} | trihelično kvadratno tlakovanje |
izkrivljeni muoktaeder | cikcak | {∞, 4}·,∗3 | / |
Viri uredi
- ↑ 1,0 1,1 1,2 McMullen, P.; Schulte, E. (1. junij 1997). »Regular Polytopes in Ordinary Space«. Discrete & Computational Geometry (v angleščini). Zv. 17, št. 4. str. 449–478. doi:10.1007/PL00009304. ISSN 1432-0444.