Pravilni polieder

Pravilni poliedri so poliedri, ki imajo skladna vsa oglišča, stranice in stranske ploskve. Definicij za pravilne poliedre je več, najstrožje dovoljujejo le 5 pravilnih poliedrov (Platonska telesa), medtem ko najbolj obširne dovoljujejo neskončno mnogo pravilnih poliedrov. Dandanes je najbolj popularna definicija, ki dovoljuje 9 pravilnih poliedrov, ter številne razširjene definicije, najbolj popularna dovoljuje 48 pravilnih poliedrov. Prve omembe poliedrov segajo že v 4. stoletje pred našim štetjem, ko je Platon opisal Platonska telesa. Kasneje je še Johannes Kepler odkril 2, katerima je nato v 19. stoletju našel duale Louis Pointsot. V dvajsetem stoletju so nato začeli iskati različne neskončne poliedre, katerih običajno ne vključimo v navadno definicijo pravilnih poliedrov.

Kocka, najbolj poznan pravilni polieder.

Petrialni poliedri zaključenih pravilnih poliedrov so prav tako zaključeni, vendar običajno niso vključeni v strožje definicije, saj njihove stranske ploskve niso vključene v strožjo definicijo pravilnih mnogokotnikov. Ti imajo namreč stranske ploskve razporejene po tridimenzionalnem prostoru, temu rečemo, da so izkrivljene. Ti mnogokotniki imajo še vedno enako dolge stranice, vendar te ležijo na različnih ravninah.

Neskončni pravilni poliedri (pravilni apeiroedri) so različna tlakovanja. Najbolj poznana so planarna tlakovanja, obstaja pa tudi nekaj pravilnih neplanarnih apeiroedrov, tako imenovani “blended” (mešani) apeiroedri. Ti zaradi nezaključnosti prav tako niso vključeni v strožje definicije pravilnih poliedrov.

Pravilni poliedri do sedaj so vsi ”pravilni” v trorazsežnem evklidskem prostoru, poznamo pa tudi neskončno mnogo pravilnih poliedrov v sferičnem in hiperboličnem prostoru. Obstajajo tudi abstraktni poliedri, to so trorazsežna telesa, ki so pravilna le v več kot trirazsežnem prostoru.

Poliedre največkrat delimo po odkriteljih (Platonska telesa, Keplerjeva telesa …), obstajajo pa tudi druge delitve.

Definicije

Obstaja veliko različnih definicij, ki dovoljujejo različno število pravilnih poliedrov. Vse definicije imajo naslednje omejitve:

• vsi diederski koti poliedra morajo biti enaki
• vse slike oglišč so pravilni mnogokotniki (pri definicijah, ki zajemajo več poliedrov se štejejo tudi pravilni izkrivljeni mnogokotniki)
• vse stranice, oglišča in stranske ploskve so skladne.

Petrie-Coxeterjeva definicija

Prva definicija Petrieja in Coxeterja je dovoljevala vse pravilne poliedre, ki so v 3D evklidskem prostoru s tem omejila pravilne poliedre na 48 različnih. S to definicijo jima je uspelo najti šest novih pravilnih poliedrov, ki predstavljajo osnovo za kasneje odkritih šest, ki tudi spadajo v definicijo. Ta definicija še vedno dovoljuje neskončno velike pravilne poliedre, ki jih nadaljnje definicije ne dovoljujejo več.

Definicija, ki omejuje zaključenost pravilnega poliedra

Ta definicija za razliko od Petrie-Coxeterjeve definicije dovoljuje pravilne poliedre izven evklidskega prostora, vendar morajo biti poliedri zaključeni. Ta definicija ne dovoljuje tlakovanj, vendar dovoljuje še vedno neskončno mnogo pravilnih poliedrov. Definicija nima pravega imena in se bolj redko uporablja.

Standardna definicija

To je največkrat uporabljena definicija in se običajno uporablja pri opisovanju pravilnih poliedrov. Definicija dovoljuje le zaključene pravilne poliedre znotraj 3D evklidskega prostora ter tako omejuje število na 9 pravilnih poliedrov, na platonska ter Kepler-Pointsotova telesa.

Schläflijeva definicija

Ludwig Schläflij je zagovarjal, da morajo imeti vsi pravilni poliedri Eulerjevo karakteristiko 2, to pa imajo le platonska ter veliki zvezdni dodekaeder in veliki ikozaeder. Čeprav on sam ni štel niti Keplerjevih teles pod pravilne poliedre, so ti dovoljeni v tej definiciji.

Osnovnošolska definicija

To definicijo se zaradi omejitve teles le na najpreprostejša pogosto uporablja v osnovnih šolah, vsekakor pa se ne pojavlja le tam. Definicija zahteva, da so pravilni poliedri zaključeni, so v evklidskem 3D prostoru ter so konveksni. S tem smo omejili pravilne poliedre le na 5 platonskih teles. Ta definicija se pogosto uporablja tudi med ljudmi, ki nimajo poglobljenega znanja v matematiki. Definicijo so uporabljali tudi stari Grki, saj še niso poznali drugih pravilnih poliedrov.

Označevanje

Glavni članek: Schläflijev simbol

Za pravilne politope se najpogosteje uporablja označevanje s Schläflijevim simbolom. V treh dimenzijah mora imeti dve števili, ki se na splošno označita s p in q, torej Schläflijev simbol za nek polieder je {p, q}. V simbolu p predstavlja kateri mnogokotnik sestavlja pravilni polieder – polieder je torej iz p-kotnikov. Število q pa predstavlja koliko stranskih ploskev se stika v enem oglišču. Simbol {4, 3} torej pomeni, da je polieder sestavljen iz pravilnih štirikotnikov (kvadratov) in da se v vsakem oglišču stikajo trije kvadrati. Vendar se označevanje že pri standardni definiciji mora spremeniti, saj drugače bi prišlo do različnih poliedrov označenih enako. Problem predstavlja pentagram, saj je kot konveksni petkotnik, prav tako petkotnik. Za pentagram in dekagram se zato uporablja oznaka {p, q/n}, kjer n predstvlja stopnjo stelacije. Nekateri petriali imajo prav tako enak Schläflijev simbol kot nekatera druga telesa, zato se pri njih poleg osnovnega simbola na koncu napiše še število mnogokotnika, ki je stranska ploskev petrialnega para, npr. Schläflijev simbol za petrialno kocko je {6, 3}₄. To pomeni, da ima petrialna kocka za stranske ploskve šestkotnike in da se po trije stikajo na enem oglišču. Če bi zapisali samo {6, 3}, petrialne kocke ne bi bilo mogoče razločiti od šestkotnega tlakovanja, zato na koncu podpišemo še 4, saj ima petrialni par (navadna kocka) za osnovno ploskev pravilne štirikotnike (kvadrate). Pri petrialih se uporablja tudi zapis s simbolom petrialnega para in na koncu nadčrtamo π, npr. {4, 3}^π. Pri Petrie-Coxeterjevih poliedrih je potrebno tudi napisati obliko lukenj, ki nastopajo med stranskimi ploskvami. Splošen simbol je {p₁, q|p₂}. Število p₁ predstavlja p-kotnik stranske ploskve, p₂ pa p-kotnik luknje med stranskimi ploskvami. Naslednja posebnost je pri “blended” apeiroedrih, saj moramo nakazati ali “blendamo” s segmentom ali z apeiroedrom. Prav tako p in q nista od stranske ploskve, temveč od stranske ploskve tlakovanja iz katerega izhaja. Posebnost zase je še izkrivljeni muoktaeder, katerega zapis je {∞, 4}_·,∗3, kjer∗ stoji pred številom, ki predstavlja obliko luknje ali cikcaka dualnega para. S · smo zamenjali ∞ da nakažemo, da je vrednost nedoločena.

Platonska telesa

Igralne kocke v obliki platonskih teles

Najbolj poznani pravilni poliedri so platonska telesa, ter so edini poliedri, ki upoštevajo vse definicije. Platonska telesa so osnova za vse zaključene poliedre v evklidskem 3D prostoru. Poznali so jih že v starih civilizacijah, prvi zapis o njih pa je nastal okoli leta 360 pred našim štetjem, ko jih je opisal Platon. Platonskih teles je pet, kot stranske ploskve pa imajo trikotnike, kvadrate ali petkotnike. Vsi so konveksni in zaključeni. Vsi imajo dualne pare (tetraeder je sam sebi dualni par) in petrialne pare. Glavne tri simetrije – tetraederska, oktaederska in ikozaederska – so poimenovane po platonskih telesih.

Platonskim telesom se lahko določi včrtane, vmesne in očrtane sfere. Vsa telesa imajo tudi eulerjevo karkteristiko 2.

	Tetraeder	Heksaeder (kocka)	Oktaeder	Dodekaeder	Ikozaeder
slika
animacija
3D model
mreža
Schläflijev simbol	{3, 3}	{4, 3}	{3, 4}	{5, 3}	{3, 5}
osnovna ploskev	trikotnik	kvadrat	trikotnik	petkotnik	trikotnik
št. stranskih ploskev	4	6	8	12	20
št. oglišč	4	8	6	20	12
št. robov	6	12	12	30	30
simetrija	tetraederska	oktaederska	oktaederska	ikozaederska	ikozaederska
dual	sam sebi	oktaeder	heksaeder	ikozaeder	dodekaeder

Dokazovanje platonskih teles

Da je le pet različnih platonskih teles lahko dokažemo na več načinov.

Geometrijski dokaz

Geometrijsko je dokazal že Evklid v svoji knjigi Elementi.

Da telo lahko obstaja mora imeti vsaj tri stranske ploskve, ki se stikajo v enem oglišču (q ≥ 3) ter za stransko ploskev enake pravilne mnogokotnike (p ≥ 3). V vsakem oglišču telesa mora biti med sosednjimi stranskimi ploskvami vsota kotov manjša od 360°, torej mora biti notranji kot mnogokotnika manjši od 360°/3 = 120° (tri-, štiri- ali petkotnik, saj šestkotnik ima kot 120°). Razlika med 360° in vsotami kotov istega oglišča se imenuje kotni primanjkljaj.

Pri trikotnikih imamo tri možne poliedre, saj se lahko na istem oglišču stikajo trije, štirje ali pet trikotnikov, ki tvorijo teraeder, oktaeder in ikozaeder. Šest jih že tvori kot 360° in tako tvorijo teselacijo in ne platonskega telesa. Pri kvadratih in petkotnikih je edina možnost s tremi liki na oglišče, saj štirje že tvorijo kot 360° oz. 432°. Mnogokotniki z več stranicami, kot 5 niso zmožni tvoriti platonskega telesa, saj če bi se trije stikali na istem oglišču kotnega primankljaja ne bi bilo ali bi bil kot večji od 360°.

	trije trikotniki	štirje trikotniki	pet trikotnikov	šest trikotnikov	trije kvadrati	štirje kvadrati	trije petkotniki	trije šestkotniki
slika
kot	180°	240°	300°	360°	270°	360°	324°	360°
primanjkljaj	180°	120°	60°	0°	90°	0°	36°	0°
telo	{3, 3} tetraeder	{3, 4} oktaeder	{3, 5} ikozaeder	Ø	{4, 3} heksaeder	Ø	{5, 3} dodekaeder	Ø

V bistvu lahko le iz primankljaja ugotovimo število oglišč v platonskem telesu z uporabo Descartesovega izreka:

$V={720^{\circ } \over 360^{\circ }-q\alpha }$

V enačbi V predstavlja število oglišč, q število mnogokotnikov okrog enega oglišča in α notranji kot enega mnogokotnika.

Topološki dokaz

Topološki izraz izhaja iz dejstva da je Eulerjeva karakteristika pri vseh platonskih telesih 2:

$V+F-E=2$

Za vsa platonska telesa velja tudi naslednja enačba:

$pF=2E=qV$

Če enačbi združimo, dobimo naslednjo enačbo:

${2E \over q}+{2E \over p}-E=2$

To enačbo se zlahka poenostavi v naslednjo:

${1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}$

Število robov (E) je lahko le pozitivno, saj ne moremo imeti negativno število robov. Iz tega lahko dobimo naslednjo neenačbo:

${1 \over q}+{1 \over p}>{1 \over 2}$

Ker morata biti p in q naravni števili, večji od 3, dobimo 5 rešitev, ki se ujemajo s platonskimi telesi.

Kepler-Poinsotovi poliedri

Keplerjeve poliedre ter Pointsotove poliedre velikokrat združimo pod skupnim imenom Kepler-Pointsotovi poliedri, saj so dualni pari.

Keplerjeva poliedra je okoli leta 1619 odkril Johannes Kepler. Kot osnovni ploskvi imata pentagram, torej nista konveksna. Po začetku znanstvenega klasificiranja poliedrov pa je Louis Poinsot leta 1806 odkril še njuna duala. Tudi duala nista konveksna, čeprav sta iz trikotnikov in petkotnikov – konveksnih mnogokotnikov. Značilnost Kepler-Poinsotovih poliedrov je tudi ikozaedrska simetrija. Keplerjevi telesi lahko dobimo tudi z procesom facetiranja oz. stelacije. S facetiranjem ikozaedra dobimo veliki dodekaeder, s facetiranjem malega zvezdenga dodekaedra pa veliki ikozaeder:

$\{3,5\}\xrightarrow {\varphi _{2}} \{5,{5 \over 2}\}$

$\{{5 \over 2},5\}\xrightarrow {\varphi _{2}} \{3,{5 \over 2}\}$

	Mali zvezdni dodekaeder (mali stelirani dodekaeder)	Veliki dodekaeder	Veliki zvezdni dodekaeder (veliki stelirani dodekaeder)	Veliki ikozaeder
slika
animacija
3D model
mreža (osnovne ploskve mreže niso osnovne ploskve, saj v realnem svetu ne moremo narediti Kepler-Poitsotovih poliedrov iz njihovih osnovnih ploskev, saj se te med seboj sekajo)				×12
Schläflijev simbol	{5/2, 5}	{5, 5/2}	{5/2, 3}	{3, 5/2}
osnovna ploskev	pentagram	petkotnik	pentagram	trikotnik
št. stranskih ploskev	12	12	12	20
št. oglišč	12	12	20	12
št. robov	30	30	30	30
Eulerjeva karakteristika	−6	−6	2	2
dual	veliki dodekaeder	mali stelirani dodekaeder	veliki ikozaeder	veliki stelirani dodekaeder

Dokazovanje Kepler-Poinsotovih teles

Leta 1810 je matematik Augustin-Louis Cauchy dokazal, da obstajajo le štirje Kepler-Pointsotovi poliedri, vendar je njegov dokaz težko razumljiv in zapleten. Spodaj je napisan dokaz, ki ga je iznašel Joseph Bertrand.

Za katerikoli končni set točk v prostoru obstaja konveksni polieder, ki ima oglišča na nekaterih izmed točk, ostale pa znotraj sebe (v svoji konveksni ogrinjači). V polieder lahko postavimo pravilni stelirani polieder tako, da so ogljišča enega hkrati tudi oglišča drugega. Ta sistem lahko kličemo P in lahko mu naredimo kopijo Q. Ker je stelarni polieder v P pravilni, lahko P obračamo ali zrcalimo tako, da katerokoli oglišče v od P gre na katerokoli oglišče v' od Q ter se pri tem vsa druga oglišča P ujemajo z oglišči Q. Tako mora biti P izogonalen (ogliščno prehoden) in konveksna ogrinjača uniformni polieder. To razporeditev v do v' lahko naredimo na najmanj tri načine, z ujemanjem vsake stranske ploskve, ki ima najmanj dve drugi skladni stranski ploskvi z najmanj trikratno simetrijo okrog vsakega oglišča, kar izključuje vsa telesa razen platonskih teles. Kepler-Pointsotova telesa lahko tako nastanejo le z facetiranjem platonskih teles.

Tetraeder ne more biti facetiran, saj nima diagonal. Oktaeder prav tako ne more biti facetiran, saj njegove diagonale tvorijo le tri kvadrate, pravokotne eden na drugega, ki niso zmožni tvoriti poliedra. Heksaeder (kocka) ima premalo prostorskih diagonal, da bi lahko tvorila polieder, ploskovne diagonale pa naredijo stello octangulo, ki je poliedrski sestav. Ostaneta nam tako le še dodekaeder in ikozaeder. Ikozaeder se lahko facetira na 3 različne poliedre, ki imajo za osnovno ploskev enake pravilne mnogokotnike. Novonastali polieder je lahko sestavljen iz 12 petkonikov (veliki dodekaeder), 12 pentagramov (mali stelirani dodekaeder) ali 20 trikotnikov (veliki ikozaeder). Dodekaeder se lahko facetira v heksaederske in tetraederske sestave, vendar tudi v velikega steliranega dodekaedra. Ker ni več platonskih teles tudi Kepler-Poinsotovih teles ne more biti več.

Značilnosti pravilnih poliedrov znotraj standardne definicije

Ekvivalentnosti

V pravilnem poliedru so vsa oglišča skladna, torej se mora na vseh ogliščih stikati enako število ploskev. Za oglišča velja tudi:

• vsa oglišča poliedra ležijo na sferi
• vsi diedrski koti poliedra so enaki
• vse slike oglišč poliedra so pravilni mnogokotniki
• vsi prostorski koti poliedra so skladni

Koncentrične sfere

Pravilni poliedri imajo tri sfere, ki si delijo središča:

• včrtana sfera je tangentna na vse ploskve
• vmesna sfera je tangentna na vse robove
• očrtana sfera je tangentna na vsa oglišča

Simetrija

Pravilni poliedri so med poliedri najbolj simetrični. Nahajajo se v treh simetrijskih grupah, ki imajo imena po platonskih telesih:

• tetraederska (tudi simetrija četverca) – T_d
• oktaederska (tudi heksaederska ali simetrija osmerca) – O_h
• ikozaederska (tudi dodekaederska) – I_h

Eulerjeva karakteristika

Pet platonskih teles ter veliki zvezdni dodekaeder in veliki ikozaeder imajo Eulerjevo karakteristiko (χ) enako dva, kar pomeni, da je površina poliedra topološka 2-sfera. Mali zvezdni dodekaeder in veliki dodekaeder sta, kar se tiče Eulerjeve karakteristike posebna, saj je pri njima −6. Zaradi tega ju Ludwig Schläfli ni uvrščal med pravilne poliedre.

Notranje točke

Vsota razdalj od poljubne točke znotraj pravilnega poliedra do stranic je neodvisna od lege točke (to je razširitev Vivianovega izreka). Obratno ne velja celo za tetraedre.

Razmerja med pravilnimi poliedri

Znotraj standardne definicije pravilnih polierov le tetraeder ni v razmerju z nobenim drugim pravilnim poliedrom, vendar pri razširjenih definicijah dobi svoj petrialni par. Heksaeder je v razmerju le z oktaedrom, ostalih šest teles pa je v razmerju med sabo. Razmerje med poliedri lahko obstaja le med poliedri z enako vrsto simetrije. Poznamo šest osnovnih razmerij med pravilnimi poliedri, od tega se pojavljata dva med platonskimi in Kepler-Ponsotovimi poliedri. Osnovna razmerja lahko poljubno združujemo skupaj, vendar ni nujno, da ima vsak polieder to razmerje s katerim drugim pravilnim poliedrom.

Dual

Glavni članek: Dualni polieder

Heksaeder in oktaeder sta dualna para

Prikaz prisekanja malega zvezdnega dodekaedra

Dual nekega poliedra je tisto telo, ki nastane s prisekavanjem – če poliedru odrežemo oglišča na tak način, da so nastali mnogokotniki skladni in pravilni, ter da od vsake dosedanje stranske ploskve ostane le sredinska točka – tam, kjer je nastalo novo oglišče. Dualni razmerje se označi z grško črko δ. Da sta dve telesi dualni par se zlahka vidi iz Schläflijevega simbola, saj sta p in q vrdnosti zamenjani, npr. {4, 3} je dualni par od {3, 4}

Dualni pari znotraj standardne definicije:

• heksaeder in oktaeder
• dodekaeder in ikozaeder
• mali zvezdni dodekaeder in veliki dodekaeder
• veliki zvezdni dodekaeder in veliki ikozaeder
• Tetraeder ima tudi dualni par, vendar sam s sabo

Stelirani/facetirani par

Par nastane s stelacijo ali fecetacijo nekega poliedra. Označi se s grško črko φ, zraven pa je podana še stopnja stelacije, npr. φ₂, če je stopnja stelacije 2.

Stelirani/facetirani pari znotraj standardne definicije:

• ikozaeder in veliki dodekaeder – φ₂
• mali zvezdni dodekaeder in veliki ikozaeder – φ₂

Razmerja med poliedri zunaj standardne definicije

Teh razmerij ne najdemo med platonskimi in Kepler-Ponsotovimi poliedri, ampak med bolj kompleksnimi poliedri.

• petrialni par (π) je med dvema telesoma z enako lego oglišč in robov, vendar z drugačnimi stranskimi ploskvami
• razpolovljeni par (η) je med telesoma, kjer ima eno telo svoje robove po diagonalah stranskih ploskev dugega
• vijačni par (σ) je med telesoma, kjer se pri enemu telesu osnovna ploskev v neko stran periodično ponavlja, pri drugem pa to ponavljanje nadomešča vijačnica v obliki izhodiščne osnovne ploskve.
• ”blended” trojica je med telesi, pri katerem je eden planarna teselacija, druga dva pa trodimenzionalna različica teselacije. “Blendamo“ lahko z apeiroedrom ali z segmentom ter tako dobimo dve različici “blended“ teselacije.

Pravilni poliedri zunaj standardne definicije

Petriali pravilnih poliedrov znotraj standardne definicije

Petrial poliedra je polieder, ki ima s svojim petrialnim parom skladna oglišča in robove, vendar ne stranskih ploskev. To lahko storimo le, če je osnovna ploskev enega izmed njih izkrivljena v tretjo dimenzijo. Osnovno ploskev petriala dobimo, če začnemo v nekem oglišču, nato pa izmenično levo-desno sledimo stranicam dokler ne pridemo do izhodiščnega oglišča. Dobimo sklenjen cikcak. Če cikcak pogledamo pod pravim kotom izgleda kot pravilni mnogokotnik z oglišči na isti ravnini. Tako poimenujemo cikcake po pravilnih mnogokotnikih, vendar ker imajo oglišča razporejena po 3D prostoru se imenujejo izkrivljeni pravilni mnogokotniki. Petriale z izkrivljenimi stranskimi ploskvami se označi kot {p, q}_n, kjer n označuje število p petrialnega para. Ta zapis je obvezen le za petrialni tetraeder, heksaeder in oktaeder.

	Petrialni tetraeder	Petrialni heksaeder	Petrialni oktaeder	Petrialni dodekaeder	Petrialni ikozaeder	Petrialni mali zvezdni dodekaeder	Petrialni veliki dodekaeder	Petrialni veliki zvezdni dodekaeder	Petrialni veliki ikozaeder
slika
animacija
animacija osnovne ploskve
osnovna ploskev	izkrivljen kvadrat	izkrivljen šestkotnik		izkrivljen desetkotnik		izkrivljen šestkotnik		izkrivljen dekagram
Schläflijev simbol	{4, 3}3	{6, 3}4	{6, 4}3	{10, 3}	{10, 5}	{6, 5/2}	{6, 5}	{10/3, 5/2}	{10/3, 3}
št. stranskih ploskev	3	4	4	6	6	10	10	6	6
št. oglišč	4	8	6	20	12	12	12	12	20
št. robov	6	12	12	30	30	30	30	30	30
Eulerjeva karakteristika	1	0	−2	−4	−12	−8	−8	−12	−4

Dokazovanje petrialov

Najprej bomo dokazali, da obstaja 18 pravilnih zaključenih poliedrov v $\mathbb {E} ^{3}$. Ker so pravilni zaključeni poliedri tudi platonska telesa ter Kepler-Poinsotova telesa tako lahko obstaja 9 petrialov.

Naj bo $P$ pravilni polieder v $\mathbb {E} ^{3}$ in naj bo $G(P)=\langle R_{0},R_{1},R_{3}\rangle$ njegova simetrijska grupa. Lahko rečemo, da je $G(P)$ ortogonalna grupa, tako, da ima $P$ center $o$. Prva stvar, ki jo lahko opazimo je, da morata biti $R_{1}$ in $R_{2}$ ravnini. Najlažji način, kako to lahko opazimo je, da za prvotno oglišče $v$ od $P$ velja $v\in {\bigl (}R_{1}\cap R_{2}{\bigr )}\setminus \{o\}$. Tako mora $R_{1}\cap R_{2}$ vsebovati premico, vendar morata biti $R_{1}$ in $R_{2}$ različna in nekomutativna. $R_{0}$ je tako lahko premica ali ravnina. Ne more biti le set točke {$o$}, ki bi bila edina druga vrsta involucije v ortogonalni grupi v $\mathbb {E} ^{3}$, saj bi bil $R_{0}$ tako centralen in bi bil komutativen z $R_{1}$.

Če je $R_{0}$ premica, jo nadomestimo z ortogonalno ravnino $S_{0}:=R_{0}^{\perp }$. Kot ortogonalna simetrija, $S_{0}=-R_{0}$, tj. produkt $R_{0}$ s centralnim zrcaljenjem. $S_{0}$ je tako še vedno komutatvna z $R_{2}$, vendar ne z $R_{1}$. Če je $R_{0}$ ravnina, določimo, da je $S_{0}:=R_{0}$. Nato določimo $S_{j}:=R_{j}$ za $j=1,2$. Zatem definiramo $H:=\langle S_{0},S_{1},S_{2}\rangle$. Tako je $H$ končna zrcalna grupa v $\mathbb {E} ^{3}$, ki je tudi simetrijska grupa devetih klasičnih pravilnih ploedrov $Q$. V vsaki grupi $H:=\langle S_{0},S_{1},S_{2}\rangle$ poliedra $Q$ lahko zamenjamo $S_{0}$ z $-S_{0}$ ter tako dobimo novo končno ortogonalno grupo v $\mathbb {E} ^{3}$, nastalo z involucijami. To doda na seznam še devet pravilnih poliedrov, torej vse skupaj 18.

Pravilni apeiroedri

Pravilne apeiroedre šteje pod pravilne poliedre le Petrie-Coxeterjeva definicija. Pravilne apeiroedre delimo v dve veliki skupini – apeiroedri se namreč lahko širijo v neskončnost v dveh dimenzijah (teselacije) ali v treh (čisti pravilni apeiroedri in pravilni poševni apeiroedri (Petrie-Coxeterjevi apeiroedri). Čeprav se “blendane” teselacije z apeiroedrom širijo v tri dimenzije, jih še vedno uvrščamo v prvo skupino, saj izhajajo iz planarnih teselacij.

Pravilne teselacije

Poznamo šest planarnih teselacij (trikotno, kvadratno in šestkotno ter njihove petriale). Vsaka od njih je del svoje “blended” trojice, saj lahko vsako od njih “blendamo” na dva različna načina in tako dobimo še dve različni pravilni teselaciji. Tako poznamo 18 teselacij. “Blendanih” teselacij ne zapisujemo s Schläflijevim simbolom, ki bi nam povedal p-kotnik, ki je stranska ploskev in število mnogokotnikov, ki se v enem oglišču stika, ampak z Schläflijevim simbolom planarnega apeiroedra, iz katerega izhaja ter posebno končnico. Za “blendane” s segmentom je # {}, za “blendane” z apeiroedrom pa # {∞}, saj se širijo v neskončnost tudi po tretji dimenziji. “Blended” trojica je torej {4, 4}; {4, 4} # {} in {4, 4} # {∞}.

Planarne teselacije

Osnovne tri planarne teselacije (tlakovanja) so trikotniška, kvadratna in šestkotna. Da je teselacija planarna, pomeni, da ima vsa oglišča na isti ravnini. teselacije se širijo po ravnini v neskončnost, torej imajo neskončno število stranskih ploskev, oglišč in robov. Vse imajo svoje petrialne pare:

$\{3,6\}\xrightarrow {\pi } \{\infty ,6\}_{3}$

$\{4,4\}\xrightarrow {\pi } \{\infty ,4\}_{4}$

$\{6,3\}\xrightarrow {\pi } \{\infty ,3\}_{6}$

	Trikotno tlakovanje	Kvadratno tlakovanje	Šestkotno tlakovanje	Petrialno trikotno tlakovanje	Petrialno kvadratno tlakovanje	Petrialno šestkotno tlakovanje
slika
Schläflijev simbol	{3, 6}	{4, 4}	{6, 3}	{∞, 6}3	{∞, 4}4	{∞, 3}6
osnovna ploskev	trikotnik	kvadrat	šestkotnik	nesklenjen cikcak (60°)	nesklenjen cikcak (90°)	nesklenjen cikcak (120°)
simetrija	šestkratna rotacijska	štirikratna rotacijska	trikratna rotacijska	šestkratna rotacijska	štirikratna rotacijska	trikratna rotacijska
dual	šestkotno tlakovanje	sam sebi	trikotno tlakovanje	/

Dokazovanje planarnih teselacij

Podobno kot pri platonskih telesih lahko tudi tukaj dokažemo z geometrijskim ali topološkim dokazom. Pri geometrijskem dokazu sedaj ne sme biti kotnega primankljaja, vsota kotov mora biti točno 360°. Enako kot pri platonskih telesih morata tudi tukaj biti p in q ≥ 3, torej mora biti notranji kot mnogokotnika manjši ali enak 360°/3 = 120°. Tako se lahko omejimo le na tri-, štiri-, pet- in šestkotnike.

	šest trikotnikov	štirje kavdrati	trije petkotniki	trije petkotniki
slika
kot	360°	360°	324°	360°
primanjkljaj	0°	0°	36°	0°
teselacija	{3, 6} trikotna teselacija	{4, 4} kvadratna teselacija	Ø	{6, 3} šestkotna teselacija

Topološki dokaz je povsem enak tistemu za dokazovanje platonskih teles, le da mora sedaj veljati ${1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}$.

Geometrijski in topološki dokaz sta lahka za razumevanje, vendar ne dokažeta petrialov. Za dokaz da obstaja le šest planarnih teselacij moramo uporabiti splošni dokaz za dokazovanje pravilnih teselacij.

“Blended” teselacije

“Blended“ teselacije delimo na dve vrsti: “blended” teselacije s segmentom in “blended” teselacija z apeiroedrom.

“Blended” teselacije s segmentom nastanejo, ko oglišča periodnično premaknemo izven ravnine in puščamo v ravnini. Tako dobimo teselacijo, ki ima za stranske ploskve iz izkrivljenih mnogokotnikov (razen trikotniška teselacija, pri njej moramo vsako oglišče kopirati ter le enega premakniti – tako se trikotniki spremenijo v izkrivljene heksagrame).

	Trikoten “blended“ s segmentom apeiroeder	Kvadraten “blended“ s segmentom apeiroeder	Šestkoten “blended“ s segmentom apeiroeder	Petrialni trikoten “blended“ s segmentom apeiroeder	Petrialni kvadraten “blended“ s segmentom apeiroeder	Petrialni šestkoten “blended“ s segmentom apeiroeder
Schläflijev simbol	{3, 6} # {}	{4, 4} # {}	{6, 3} # {}	{∞, 6}3 # {}	{∞, 4}4 # {}	{∞, 3}6 # {}
osnovna ploskev	izkrivljen trikotnik	izkrivljen kvadrat	izkrivljen šestkotnik	nesklenjeni cikcaki
simetrija	šestkratna rotacijska	štirikratna rotacijska	trikratna rotacijska	šestkratna rotacijska	štirikratna rotacijska	trikratna rotacijska
dual	šestkotno “blended“ s segmentom tlakovanje	sam sebi	trikotno “blended“ s segmentom tlakovanje	/

Vijačnica, ki nadomešča nekdanji kvadrat v kvadratnem tlakovanju izgleda ob pogledu vzporedno na ravnino kot kvadrat (levo), vendar se neskončno širi pravokotno na nekdanjo ravnino (desno)

Pri “blended” teselacijah z apeiroedrom nadomestimo stranske ploskve planarnih teselacij zamenjamo z linearnim apeiroedrom z enako simetrijo kot mnogokotnik, ki ga nadomešča (notranji kot mnogokotnika mora biti enak kotu, ki je vzporeden z ravnino nekdanjega planarnega poliedra v vijačnici). Tako nastane osnovna ploskev vijačnica in pri petrialih cikcak. Vijačnicam moramo periodično izmenjevati orientacijo, da imajo lahko skupna oglišča. Vijačnici se lahko določi kot, ki je vzporeden na ravnino (60°, 90° in 120°, saj morajo imeti enako simetrijo kot mnogokotniki, katere nadomeščajo).

	Trikoten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder	Kvadraten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder	Šestkoten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder	Petrialni trikoten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder	Petrialni kvadraten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder	Petrialni šestkoten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder
Schläflijev simbol	{3, 6} # {∞}	{4, 4} # {∞}	{6, 3} # {∞}	{∞, 6}3 # {∞}	{∞, 4}4 # {∞}	{∞, 3}6 # {∞}
osnovna ploskev	nesklenjeni cikcaki
simetrija	šestkratna rotacijska	štirikratna rotacijska	trikratna rotacijska	šestkratna rotacijska	štirikratna rotacijska	trikratna rotacijska
dual	šestkoten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder	sam sebi	trikoten “blended“ z apeiroedrom apeiroeder	/

Nepopolne planarne teselacije

Poznamo tudi dve nepopolni planarni teselaciji, to sta {∞, 2} in njen dual, {2, ∞}. Prvi je apeirogonalni dieder iz dveh apeirogonov, vsak pokriva polovico ravnine. Njegov dual, apeirogonalni hozoeder, izgleda kot neskončno zaporedje paralelnih premic. Oba imata dvakratno rotacijsko simetrijo.

	Apeirogonalni dieder	Apeirogonalni hozoeder
slika
Schläflijev simbol	{∞, 2}	{2, ∞}

Dokazovanje pravilnih teselacij

Z naslednjim dokazom lahko dokažemo, da obstaja le 18 različnih pravilnih teselacij:

Naj bo $P$ planarni apeirogon s simetrijsko grupo $G(P)=\langle R_{0},R_{1},R_{3}\rangle$. Za začetno oglišče $v$ velja $v\in R_{1}\cap R_{2}$ ter $R_{1}$ in $R_{2}$ sta nekomutativni involuciji v $\mathbb {E} ^{2}$. Tako morata biti $R_{1}$ in $R_{2}$ sekajoči se premici. Sedaj moramo ugotoviti kote, ki so lahko med njima.

Naj bo samostojna neskončna grupa izometrij, ki se disperzirajo na $\mathbb {E} ^{2}$ ali $\mathbb {E} ^{3}$, $G$. $G$ naj bo podgrupa celotne grupe izometrij v $\mathbb {E} ^{n}$, $I_{n}$. Tako $G$ ne more imeti netrivialnih nespremenljivih podprostorov. Bieberbachov teorem nam pove, da $G$ vsebuje polno podgrupo $T$ grupe premikov v $\mathbb {E} ^{n}$, $T_{n}$ in da je $G \over T$ končen; $T$ se lahko predstavlja kot mrežo $n$-tega ranka v $\mathbb {E} ^{n}$. Če je $x\mapsto x\varphi +t$ glavni element $G$, z $\varphi \in O_{n}$ (ortogonalni grupi) in premični vektor $t=\mathbb {E} ^{n}$, potem preslikave $\varphi$ tvorijo podrugrupo G₀ od O_n, ki se imenuje posebna grupa od $G$. Tako je $G_{0}$ slika $G$ pod homomorfizmom na I_n, katerega kernel je $T_{n}$: $G_{0}={G{\mathcal {T}}_{n} \over {\mathcal {T}}_{n}}\cong {G \over G\cap {\mathcal {T}}_{n}}={G \over T}$. Lahko predvidevamo, da $G_{0}$ vsebuje centralno inverzijo $-I$ – če je nima, jo dodamo. Predvidevajmo sedaj, da je $n=2,3$ in da $G_{0}$ vsebuje rotacijo s periodo $k\neq 2,3,4,6$; potem vsebuje tako rotacijo $\varphi$ skozi kot ${2\pi \over k}$. Začnimo s primerom $n=2$. Ker je $-I\in G_{0}$, lahko predvidevamo, da je $k\geq 8$ sod. Med premiki $G$ je minimalna razdalja $\delta$. Če $t\in T$ ima $\lVert t\rVert =\delta$, potem je razdalja med $t$ in $t\varphi$ $2\delta \sin {\biggl (}{\pi \over k}{\biggr )}<\delta$, kar je protislovje. Za $n=3$ navadnega prostora dokažemo podobno, le da upoštevamo najkrajšo razdaljo med paralelnimi osmi k-kratne simetrije. Če upoštevamo samostojne pravilne politope višjega ranka v $\mathbb {E} ^{3}$ vidimo, da so tri pravilne teselacije planarne, prav tako kot njihovi petriali. Vidimo lahko tudi 12 različnih trodimenzionalnih pravilnih poliedrov.

Iz nastalih apeiroedrov je razvidno, da so edini možni koti med $R_{1}$ in $R_{2}$ 30°, 60° in 45°. $R_{0}$ je lahko premica ali točka. V prvem primeru mora biti $G(P)$ [4, 4] ali [3, 6], ki nam da tri klasične planarne teselacije. V drugem primeru je $R_{0}$ komutativna z $R_{2}$, torej mora $R_{0}$ ležati v $R_{2}$ ter tako dobimo še tri petriale.

Na enak način se lahko tudi dokaže, da obstaja 12 “blended” apeiroedrov.

Pravilni poševni apeiroedri (Petrie-Coxeterjevi apeiroedri in čisti poševni apeiroedri)

Odnosi med pravilnimi poševnimi apeiroedri.

Harold Scott MacDonald Coxeter je trdil, da definicija, ki jo je podal John Flinders Petrie (sedaj znana kot Petrie-Coxeterjeva definicija) dovoljuje tudi končne pravilne poševne poliedre v štirih dimenzijah ter pravilne poševne apeiroedre v treh dimenzijah (opisani tukaj). Coxeterju je uspelo najti tri izmed šestih apeiroedrov, ki jih sedaj imenujemo Petrie-Coxeterjevi apeiroedri. Iz njih se lahko dobi tudi šest drugačnih apeiroedrov, katere imenujemo čisti poševni apeiroedri.

Coxeter je ponudil Schläflijeve simbole v obliki {p, q|n}, kjer n označuje n-kotne luknje, ki se pojavljajo med stranskimi ploskvami.

Petrie-Coxeterjevi apeiroedri

	Mukocka	Muoktaeder	Mutetraeder	Petrialna mukocka	Petrialni muoktaeder	Petrialni mutetraeder
slika (narisan le en del apeiroedra)
animacija (le en del apeiroedra)
slika oglišč
Schläflijev simbol	{4, 6|4}	{6, 4|4}	{6, 6|3}	{∞, 6}4,4	{∞, 4}6,4	{∞,6}6,3
osnovna ploskev	kvadrat	šestkotnik	šestkotnik	nesklenjeni cikcaki
oblika lukenj	kvadrat	kvadrat	trikotnik	/
simetrija	razširjena kiralna
dual	muoktaeder	mukocka	mutetraeder	/

Branko Grünbaum in Andreas Dress sta nato še iz preoblikovanja Petrie-Coxeterjevih apeiroedrov dobila 6 novih apeiroedrov, ki jih sedaj imenujemo čisti poševni apeiroedri.

Čisti pravilni apeiroedri

	Razpolovljena mukocka	Petrialna rapolovljena mukocka	Izkrivljen petrialni mutetraeder	Izkrivljen muoktaeder	Facetirana razpolovljena mukocka	Petrialna facetirana razpolovljena mukocka
Schläflijev simbol	{6, 6}4	{4, 6}6	{6, 4}6	{∞, 4}·,∗3	{∞, 3}(a)	{∞, 3}(b)
osnovna ploskev	izkrivljen šestkotnik	izkrivljen kvadrat	izkrivljen šestkotnik	cikcaki
simetrija	razširjena kiralna
dual	/	izkrivljen petrialni mutetraeder	petrialna rapolovljena mukocka	/

Razmerja med pravilnimi poševnimi ploiedri so naslednja:

	Razpolovljena mukocka	Petrialna rapolovljena mukocka	Dual petrialne razpolovljene mukocke	Izkrivljen muoktaeder	Facetirana razpolovljena mukocka	Petrialna facetirana razpolovljena mukocka
z mukocko	$\{4,6|4\}\xrightarrow {\eta } \{6,6\}_{4}$	$\{4,6|4\}\xrightarrow {\eta \pi } \{4,6\}_{6}$	$\{4,6|4\}\xrightarrow {\eta \pi \delta } \{6,4\}_{6}$ $\{4,6|4\}\xrightarrow {\eta \pi \eta \pi \delta \sigma ^{-1}} \{6,4\}_{6}$	$\{4,6|4\}\xrightarrow {\delta \sigma } \{\infty ,4\}_{\cdot ,*3}$	$\{4,6|4\}\xrightarrow {\eta \varphi _{2}} \{\infty ,3\}^{(a)}$	$\{4,6|4\}\xrightarrow {\eta \varphi _{2}\pi } \{\infty ,3\}^{(b)}$ $\{4,6|4\}\xrightarrow {\eta \pi \varphi _{2}} \{\infty ,3\}^{(b)}$
z muoktaedrom	$\{6,4|4\}\xrightarrow {\delta \eta } \{6,6\}_{4}$	$\{6,4|4\}\xrightarrow {\delta \eta \pi } \{4,6\}_{4}$	$\{6,4|4\}\xrightarrow {\delta \eta \pi \delta } \{6,4\}_{6}$ $\{6,4|4\}\xrightarrow {\delta \eta \pi \eta \pi \delta \sigma ^{-1}} \{6,4\}_{6}$	$\{6,4|4\}\xrightarrow {\sigma } \{\infty ,4\}_{\cdot ,*3}$	$\{6,4|4\}\xrightarrow {\delta \eta \varphi _{2}} \{\infty ,3\}^{(a)}$	$\{6,4|4\}\xrightarrow {\delta \eta \varphi _{2}\pi } \{\infty ,3\}^{(b)}$ $\{6,4|4\}\xrightarrow {\delta \eta \pi \varphi _{2}} \{\infty ,3\}^{(b)}$
z mutetraedrom	$\{6,6|3\}\xrightarrow {\eta ^{-1}\pi } \{6,6\}_{4}$	$\{6,6|3\}\xrightarrow {\eta ^{-1}} \{4,6\}_{4}$	$\{6,6|3\}\xrightarrow {\eta ^{-1}\delta } \{6,4\}_{6}$ $\{6,6|3\}\xrightarrow {\delta \sigma ^{-1}} \{6,4\}_{6}$	$\{6,6|3\}\xrightarrow {\eta ^{-1}\pi \eta ^{-1}\delta \sigma } \{\infty ,4\}_{\cdot ,*3}$	$\{6,6|3\}\xrightarrow {\eta ^{-1}\pi \varphi _{2}} \{\infty ,3\}^{(a)}$ $\{6,6|3\}\xrightarrow {\eta ^{-1}\varphi _{2}\pi } \{\infty ,3\}^{(a)}$	$\{6,6|3\}\xrightarrow {\eta ^{-1}\varphi _{2}} \{\infty ,3\}^{(b)}$

Pri razmerjih v zgornji tabeli −1 pomeni, da je obratno razmerje (le pri tistih, kjer je obratno razmerje drugačno):

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\eta } {\mathcal {B}}\Longleftrightarrow {\mathcal {B}}\xrightarrow {\eta ^{-1}} {\mathcal {A}}$

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\sigma } {\mathcal {B}}\Longleftrightarrow {\mathcal {B}}\xrightarrow {\sigma ^{-1}} {\mathcal {A}}$

Dokazovanje pravilnih poševnih apeiroedrov

Z naslednjim dokazom lahko dokažemo, da obstaja le 12 pravilnih poševnih apeiroedrov:

Naj bo $P$ čisti tridimenzionalni apeiroeder v $\mathbb {E} ^{3}$ (teoretično so tudi Petrie-Coxeterjevi apeiroedri čisti, saj ni nobene razlike, ki bi jih naredila manj “čiste”), s simetrijsko grupo $G(P)=\langle R_{0},R_{1},R_{2}\rangle$. Tako so $R_{0}$, $R_{1}$ in $R_{2}$ involucijske izometrije $\mathbb {E} ^{3}$ tako, da sta $R_{0}$ in $R_{2}$ komutativni, $R_{1}$ pa ni komutativna z niti z $R_{0}$ niti z $R_{2}$.

Najprej moramo dokazati, da mora biti vsaka izmed $R_{0}$, $R_{1}$ in $R_{2}$ premica ali ravnina, z drugimi besedami, izključimo lahko zrcaljenje čez točko. Naj bo izhodiščno oglišče $P$-ja $o$. Potem dobimo $o\in R_{1}\cap R_{2}$, torej ne sme biti presek prazen ter mora biti znotraj $R_{1}$ in $R_{2}$, zato je dimenzija $R_{j}\geq 1$ za $j=1,2$. Za te vrednosti $j$ zapišemo $S_{j}=R_{j}$ ali $-R_{j}$, saj je $-R_{j}$ ortogonalni komplement $R_{j}$ in $L$ za ravnino skozi $o$, ki je pravokotna na $S_{1}$ in $S_{2}$. Tako $o\not \in R_{0}$. Če bi bila $R_{0}=0$, bi $G(P)$ bil reducibilen, saj bi vsaka $R_{j}$ permutirala ravnine, pravokotne na $L$, kar je v protislovju s predvidevanjem, da je $P$ čisti. Dobili bi $R_{0}\subset R_{2}$, saj sta simetriji komutativni. Tako je tudi dimenzija $R_{0}\geq 1$.

Sedaj moramo izključiti možnost, da je dimenzija $R_{j}=2$ za $j=1,2$. V takem primeru bi obe ravnini šli skozi $o$ ter se sekali pod nekim ostrim kotom. $R_{0}$ je tako premica ali ravnina, katere zrcaljenje je komutativno z $R_{2}$, vendar ne z $R_{1}$. Če je $R_{0}$ ravnina bi zaradi ireducibilnosti $G(P)$ sledilo, da $R_{0}\cap R_{1}\cap R_{2}\neq \emptyset$, torej bi bila $G(P)$ samostojna ortogonalna grupa in zato končna. Če je $R_{0}$ premica imamo dve možnosti. $R_{0}$ lahko leži v $R_{2}$, kar bi spet povzročilo $R_{0}\cap R_{1}\cap R_{2}\neq \emptyset$ ter bi tako bila $G(P)$ končna. Druga možnost je, da je $R_{0}$ pravokotna na $R_{2}$. To naredi grupo $G(P)$ reducibilno, kar ni dovoljeno.

Izključiti moramo še možnost, da bi lahko bila dimenzija $R_{0}=2$ in $R_{2}=1$. Če bi to bilo možno, bi bila $R_{2}$ pravokotna na $R_{0}$ (ker $o\not \in R_{0}$ je možnost $R_{2}\subset R_{0}$ prepovedana). Kot v prejšnjem primeru bi to naredilo grupo $G(P)$ reducibilno, česar ne dovoljujemo.

Tako lahko dimenzijski vektor (dimenzija $R_{0}$, dimenzija $R_{1}$, dimenzija $R_{2}$) za zrcala lahko le štirih vrednosti: (2, 1, 2), (1, 1, 2), (1, 2, 1) in (1, 1, 1).

Določili smo že planarno zrcaljenje $S_{1}$ in $S_{2}$. Sedaj moramo definirati še tretje zrcaljenje, $S_{0}$, katere zrcalo je prav tako ravnina. Naj bo $R'_{0}$ premamknjena $R_{0}$, ki vsebuje izhodišče $o$ in nato nastavimo $S_{0}:=R'_{0}$ ali $-R'_{0}$, saj je $R_{0}$ premica ali ravnina. Naj bo nato $G':=\langle R'_{0},R_{1},R_{2}\rangle$, ki je posebna grupa od $G(P)$ in $H:=\langle S_{0},S_{1},S_{2}\rangle$. Potem je $H$ končna ireducibilna zrcalna grupa, poimensko, ena izmed [3, 3], [3, 4] ali [3, 5] in $G'$ je ali ena izmed naštetih zrcalnih grup ali njihova rotacijska podgrupa (to se lahko zgodi le, ko je dimenzija $R_{j}=1$ za vsak $j$. Ker mora biti $G(P)$ samostojen, $G'$ ne more biti [3, 5] ali njegova rotacijska subgrupa, saj smo že pri pravilnih teselacijah izključili petkratne rotacije. $H$ mora tako biti [3, 3] ali [3, 4]. S štirimi možnostimi za vektor in tremi za gupo $H$ (lahko je tudi [4, 3]) lahko vidimo, da imamo 12 možnosti. Vseh 12 obstaja.

Tako dobimo naslednjo tabelo:

	{3, 3}	{3, 4}	{4, 3}
(2, 1, 2)	{6, 6|3}	{6, 4|4}	{6, 4|4}
(1, 1, 2)	{∞, 6}4, 4	{∞, 4}6, 4	{∞,6}6,3
(1, 2, 1)	{6, 6}4	{6, 4}6	{4, 6}6
(1, 1, 1)	{∞, 3}(a)	{∞, 4}·,∗3	{∞, 3}(b)

Pravilne teselacije izven evklidskega prostora

Že prej so bile omenjene pravilne teselacije evklidskega prostora, obstajajo pa tudi pravilne teselacije sferičnega prostora (povšine krogle) in hiperboličnega prostora. Obstaja neskončno različnih teselacij zunaj evklidskega prostora, saj je možna katerakoli kombinacija {p, q} za p, q >1. Poznamo še dve izjemi, to sta enostrani hozoeder {2, 1} in enostrani dieder {1, 2}. Poliedri s Schläflijevim simbolom {2, n} (hozoedri) in {n, 2} (diedri) se imenujejo nepopolni poliedri, saj obstajajo v Evklidskem prostoru šele, ko je n = ∞. Poleg nepopolnih poznamo še platonske teselacije, ki so sferične različice platonskih teles. Tako, kot platonskih teles, je tudi teh 5. Za vse sferične teselacije je značilno:

${1 \over q}+{1 \over p}>{1 \over 2}$

Iz enačbe lahko tudi razberemo, zakaj nepopolni poliedri obstajajo v Evklidskem prostoru šele v neskončnosti. Za hiperbolične teselacije velja naslednja enačba:

${1 \over q}+{1 \over p}<{1 \over 2}$

Vrednosti p in q so lahko tako neskončne za p in q. Hiperbolične teselacije, ki imajo končen p in q se imenujejo kompaktne, saj jih lahko nekje zaključimo, čeprav ne bi pokrivale celotne (hiperbolične) ravnine. Teselacije z neskončnim število p ali q se imenujejo parakompaktne, saj bi jih lahko nekje zaključili, vendar šele v neskončnosti. Obstaja pa še tretja možnost, ko sta p ali q enaka iπ/λ, kar je le oznaka za drugo vrsto neskončnosti, vendar se takrat stranice nikoli, niti v neskončnosti ne staknejo. Take teselacije imenujemo nekompaktne, saj jih ne moremo zaključiti.

Sferni (nepopolni, platonski), Evklidski, hiperbolični (Poincaréjev disk projekcija: kompaktni, parakompaktni, nekompaktni)
p \ q	0	1	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ/λ
0	{0, 0} ravnina brez robov
1			{1, 2} enostrani dieder
2		{2, 1} enostrani hozoeder	{2, 2} dvostrani hozoeder	{2, 3} trostrani hozoeder	{2, 4} štiristrani hozoeder	{2, 5} petstrani hozoeder	{2, 6} šeststrani hozoeder	{2, 7} sedemstrani hozoeder	{2, 8} osemstrani hozoeder		{2, ∞} apeirogonalni hozoeder		{2, iπ/λ}
3			{3, 2} tristrani dieder	{3, 3} tetraeder	{3, 4} oktaeder	{3, 5} ikozaeder	{3, 6} trikotno tlakovanje	{3, 7}	{3, 8}		{3, ∞}		{3, iπ/λ}
4			{4, 2} štiristani dieder	{4, 3} kocka	{4, 4} kvadratno tlakovanje	{4, 5}	{4, 6}	{4, 7}	{4, 8}		{4, ∞}		{4, iπ/λ}
5			{5, 2} petstrani dieder	{5, 3} dodelaeder	{5, 4}	{5, 5}	{5, 6}	{5, 7}	{5, 8}		{5, ∞}		{5, iπ/λ}
6			{6, 2} šeststrani dieder	{6, 3} šestkotno tlakovanje	{6, 4}	{6, 5}	{6, 6}	{6, 7}	{6, 8}		{6, ∞}		{6, iπ/λ}
7			{7, 2} sedemstrani dieder	{7, 3}	{7, 4}	{7, 5}	{7, 6}	{7, 7}	{7, 8}		{7, ∞}		{7, iπ/λ}
8			{8, 2} osemstrani dieder	{8, 3}	{8, 4}	{8, 5}	{8, 6}	{8, 7}	{8, 8}		{8, ∞}		{8, iπ/λ}
...
∞			{∞,2} apeirogonalni dieder	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞, 6}	{∞,7}	{∞,8}	{∞,∞}	{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ			{iπ/λ,2}	{iπ/λ,3}	{iπ/λ,4}	{iπ/λ,5}	{iπ/λ,6}	{iπ/λ,7}	{iπ/λ,8}	{iπ/λ,∞}	{iπ/λ,iπ/λ}

Pravilne teselacije s steliranimi mnogokotniki

Poznamo dve sferni teselaciji (mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder, ostali Kepler-Poinsotovi telesi nimata ene izmed kombinacij, predstavljenih v nadaljevanju) ter nobene v Evklidskem. Čeprav je veliko kombinacij, ki ustrezajo enačbi 1/p + 1/q = 1/2, npr. {8/3, 8}, {10/3, 5} {5/2, 10}, {12/5, 12} … se nobena izmed kombinacij ne ponavlja periodično. Edini dve možnosti za pravilne teselacije so {p/2, p} in njegov dual, {p, p/2} za vsak $p=2k-1;k\in \mathbb {N} ,k\geq 3$ oz. če je p liho število, večje od 5. Če je število sodo dobimo ali degenerirane dvojne ovoje ali teselacijske sestave. Možnih pravilnih teselacij je tako neskončno, vendar števila p ne smemo nadomestiti z neskončno, saj neskončnosti se ne da določiti ali je liha ali ne. Vse teselacije imajo gostoto 3.

Sferični, hiperbolični (Poincaréjev disk projekcija)
	5	7	9	11	...
{p/2, p}	{5/2, 5}	{7/2, 7}	{9/2, 9}	{11/2, 11}
{p, p/2}	{5, 5/2}	{7, 7/2}	{9, 9/2}	{11, 11/2}

Teselacije realne projektivne ravnine

Realna projektivna ravnina ($\mathbb {RP} ^{2}$) je neorientabilna ravnina, katero lahko pokrivamo s pravilnimi abstraktnimi poliedri. To lahko naredimo s projektivnimi dvojniki platonskih teles, to so polkocka, poloktaeder, poldodekaeder in polikozaeder. Tetraeder nima svojega projektivnega dvojnika, saj nima vzporednih stranskih ploskev, ki bi jih lahko združili v eno. Tako kot pri sfernem tlakovanju, lahko tudi tukaj tlakujemo celotno ravnino s končnim številom stranskih ploskev. Druga možnost je z poldiedri in polhozoedri, katerih je neskončno, saj lahko vsakemu s sodim Schläflijevim simbolom določimo projektivnega dvojnika. Od sfernega tlakovanja se te teselacije razlikujejo v Eulerjevi karakteristiki, saj je tu 1 in je neorientabilna.

	Polkocka	Poloktaeder	Poldodekaeder	Polikozaeder	Polhozoeder	Poldieder
slika (narisana v evklidskem prostoru, zato se nekatera oglišča pojavljajo večkrat)
Schläflijev simbol	{4, 3}	{3, 4}	{3, 5}	{5, 3}	{2, 2n}	{2n, 2}
št. stranskih ploskev	3	4	6	10	2n	2
št. oglišč	4	3	10	6	2	2n
št. robov	6	6	15	15	2n + 1	2n + 1
Eulerjeva karakteristika	1	1	1	1	1	1
dual	poloktaeder	polkocka	polikozaeder	poldodekaeder	poldieder	polhozoeder

Teselacije torusa

Teselacije torusa izhajajo iz evklidskih teselacij – trikotne, kvadratne in šestkotne, le da so na torusu končne. Tako obstaja več možnosti za število stranskih ploskev in samo orientacijo stranskih ploskev. Ker imajo vse enak Schläflijev simbol, moramo na koncu navesti še dve števili (m, n), ki označujeta število stranskih ploskev in kot.

Kvadratne teselacije so možne za m > 0. Za vsak m je možnih m + 1 različnih teselacij. Dual teselacije je teselacija sama.

Kvadratne teselacije {4, 4}

	m = 1	m = 2	m = 3	…
n = 0	{4, 4}(1, 0)	{4, 4}(2, 0)	{4, 4}(3,0)
n = 1	{4, 4}(1, 1)	{4, 4}(2, 1)	{4, 4}(3, 1)
n = 2		{4, 4}(2, 2)	{4, 4}(3, 2)
n = 3			{4, 4}(3, 3)

Šestkotne in trikotne teselacije so druga drugi dual. Možne so za vsak m ≥ 0, vendar za sod m je lahko n le sod in za lih m je lahko n le lih, prav tako n ne more biti manjši od m.

Šestkotne in trikotne teselacije {6, 3} in {3, 6}(slika šestkotne teselacije)

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	…
1		{6, 3}(1, 1) {3, 6}(1, 1)
2	{6, 3}(0, 2) {3, 6}(0, 2)		{6, 3}(2, 2) {3, 6}(2, 2)
3		{6, 3}(1, 3) {3, 6}(1, 3)		{6, 3}(3, 3) {3, 6}(3, 3)
4	{6, 3}(0, 4) {3, 6}(0, 4)		{6, 3}(2, 4) {3, 6}(2, 4)		{6, 3}(4, 4) {3, 6}(4, 4)
5		{6, 3}(1, 5) {3, 6}(1, 5)		{6, 3}(3, 5) {3, 6}(3, 5)		{6, 3}(5, 5) {6, 3}(5, 5)
6	{6, 3}(0, 6) {3, 6}(0, 6)		{6, 3}(2, 6) {6, 3}(2, 6)		{6, 3}(4, 6) {3, 6}(4, 6)		{6, 3}(6, 6) {3, 6}(6, 6)
7		{6, 3}(1, 7) {3, 6}(1, 7)		{6, 3}(3, 7) {3, 6}(3, 7)		{6, 3}(5, 7) {3, 6}(5, 7)		{6, 3}(7, 7) {3, 6}(7, 7)
…

Število oglišč, stranskih ploskev in robov so naslednje:

(m, n)	kvadratne teselacije	(m, n)	trikotne teselacije	šestkotne teselacije
(1, 0)	V = 1 F = 1 E = 2	(0, 2)	V = 3 F = 6 E = 9	V = 6 F = 3 E = 9
(1, 1)	V = 2 F = 2 E = 4	(0, 4)	V = 12 F = 24 E = 36	V = 24 F = 12 E = 36
(2, 0)	V = 4 F = 4 E = 8	(0, 6)	V = 27 F = 54 E = 81	V = 54 F = 27 E = 81
(2, 1)	V = 5 F = 5 E = 10	(0, 8)	V = 48 F = 96 E = 144	V = 96 F = 48 E = 144
(2, 2)	V = 8 F = 8 E = 16	(0, 10)	V = 75 F = 150 E = 225	V = 150 F = 75 E = 225
(3, 0)	V = 9 F = 9 E = 18	(0, 12)	V = 108 F = 216 E = 324	V = 216 F = 108 E = 324
(3, 1)	V = 10 F = 10 E = 20	(0, 14)	V = 147 F = 294 E = 441	V = 294 F = 147 E = 441
(3, 2)	V = 13 F = 13 E = 26	(0, 16)	V = 192 F = 384 E = 576	V = 384 F = 192 E = 576
(3, 3)	V = 18 F = 18 E = 36	(1, 1)	V = 1 F = 2 E = 3	V = 2 F = 1 E = 3
(4, 0)	V = 16 F = 16 E = 32	(1, 3)	V = 7 F = 14 E = 21	V = 14 F = 7 E = 21
(4, 1)	V = 17 F = 17 E = 34	(1, 5)	V = 19 F = 38 E = 57	V = 38 F = 19 E = 57
(4, 2)	V = 20 F = 20 E = 40	(1, 7)	V = 37 F = 74 E = 111	V = 74 F = 37 E = 111
(4, 3)	V = 25 F = 25 E = 50	(2, 2)	V = 4 F = 8 E = 12	V = 8 F = 4 E = 12
(4, 4)	V = 32 F = 32 E = 64	(2, 4)	V = 13 F = 26 E = 39	V = 26 F = 13 E =39
(5, 0)	V = 25 F = 25 E = 50	(2, 6)	V = 28 F = 56 E = 84	V = 56 F = 28 E = 84
(5, 1)	V = 26 F = 26 E = 52	(2, 8)	V = 49 F = 98 E = 147	V = 98 F = 49 E = 147
(5, 2)	V = 29 F = 29 E = 58	(3, 3)	V = 9 F = 18 E = 27	V = 18 F = 9 E = 27
(5, 3)	V = 34 F = 34 E = 68	(3, 5)	V = 21 F = 42 E = 63	V = 42 F = 21 E = 63
(5, 4)	V = 41 F = 41 E = 81	(3, 7)	V = 39 F = 78 E = 117	V = 78 F = 39 E = 117
(5, 5)	V = 50 F = 50 E = 100	(4, 4)	V = 16 F = 32 E = 48	V = 32 F = 16 E = 48
(6, 0)	V = 36 F = 36 E = 72	(4, 6)	V = 31 F = 62 E = 93	V = 62 F = 31 E = 93
(6, 1)	V = 37 F = 37 E = 74	(5, 5)	V = 25 F = 50 E = 75	V = 50 F = 25 E = 75
(6, 2)	V = 40 F = 40 E = 80	(5, 7)	V = 43 F = 86 E = 129	V = 86 F = 43 E = 129
(6, 3)	V = 45 F = 45 E = 90	(6, 6)	V = 72 F = 36 E = 108	V = 36 F = 72 E = 108
(6, 6)	V = 36 F = 36 E = 144	(7, 7)	V = 49 F = 98 E = 147	V = 98 F = 49 E = 147
(7, 0)	V = 49 F = 49 E = 98	(8, 8)	V = 48 F = 96 E = 144	V = 96 F = 48 E = 144
(7, 1)	V = 50 F = 50 E = 100	(10, 10)	V = 75 F = 150 E = 225	V = 150 F = 75 E = 225
(7, 7)	V = 49 F = 49 E = 196	(12, 12)	V = 108 F = 216 E = 324	V = 216 F = 108 E = 324
(8, 0)	V = 64 F = 64 E = 128	(14, 14)	V = 147 F = 294 E = 441	V = 294 F = 147 E = 441
(8, 1)	V = 64 F = 64 E = 256	(16, 16)	V = 192 F = 384 E = 576	V = 384 F = 192 E = 576
…

“Blended” teselacije izven evklidskega prostora

Tako, kot v evkliskem prostoru, lahko tudi v drugih prostorih naredimo “blended” teselacije, to velja tudi za teselacije s steliranimi mnogokotniki, teselacije realne projektivne ravnine in teselacije torusa.

Pravilni poliedrski sestavi

Glavni članek: Poliedrski sestav

Pravilni sestavi so poliedri, ki so sestavljeni iz več enakih platonskih teles. Telo dobimo ali z združevanjem teles ali s facetiranjem platonskih teles. Tako poznamo 5 različnih pravilnih sestavov. Vsi imajo neko vrsto ikozaederske simetrije razen zvednega oktaedra, saj nastane s facetiranjem kocke. Poznamo tudi dualno pravilne sestave, vendar tukaj niso navedeni, saj niso niti ogliščno prehodni, zato jih le redkokdo uvršča med pravilne poliedre. Pravilnim sestavom se da določiti Schläflijev simbol, vendar se pri njih raje uporablja Coxeterjeve simbole.

Pravilni poliederski sestavi

	Zvezdni oktaeder	Kiro-ikozaeder	Sestav dveh kiro-ikozaedrov	Rombieder	Mali ikoziikozaeder
slika
3D model
Coxeterjev simbol	{4, 3} [2{3, 3}] {3, 4}	{5, 3} [5{3, 3}] {3, 5}	2{5, 3} [10{3, 3}] 2{3, 5}	2{5, 3} [5{4, 3}]	[5{3, 4}] 2{3, 5}
nastal z združevanjem	2 tetraedrov	5 tetraedrov	10 tetraedrov	5 kock	5 oktaedrov
nastal s facetiranjem (konveksna ogrinjača)	kocke	dodekaedra	dodekaedra	dodekaedra	ikozidodekaedra
št. stranskih ploskev	8	20	40	30	40
št. oglišč	8	20	20	20	30
št. robov	12	30	60	60	60
Eulerjeva karakteristika	4	10	0	−10	10
simetrija	Oh	I	Ih	Ih	Ih
dual	sam sebi	kiralni kiro-ikozaeder	sam sebi	mali ikoziikozaeder	rombieder

Pravilni teselacijski sestavi

Poznamo neskončno pravilnih teselacijskih sestavov, od tega jih je 7 v sferičnem prostoru in 18 oz. 20 (odvisno od vira) v evklidskem. Hiperbolični prostor dopušča neskončno različnih pravilnih teselacijskih sestavov. Sferični teselacijski sestavi so isti kot pravilni poliederski sestavi, dodati moramo le še pravilna sestava hozoedra in diedra. Pri teselacijskih sestavih se pri Coxeterjevem simbolu lahko pojavijo enake številke za različne sestave, zato moramo v simbol vključiti še $b^{2}+c^{2}$ oz. $b^{2}+bc+c^{2}$ . Pri hiperboličnih je pri nekaterih primerih q lahko poljubno velik (kar nam da neskončno teselacijskih sestavov), edina omejitev je:

${1 \over p}+{1 \over q}<{1 \over 2}$,

saj če bi bil enak 1/2 bi bil pravilen v evklidkem prostoru, če bi bil večji od tega pa bi bil pravilen v sferičnem prostoru. Za seznam se domneva, da je zaključen, saj že dolgo ni bilo odkritega novega sestava, vendar tega še niso dokazali.

Pravilni teselacijski sestavi v sferičnem prostoru

Coxeterjev simbol	slika	nastal z združevanjem	dual
{4, 3} [2{3, 3}] {3, 4}		2 tetraedrov	sam sebi
{5, 3} [5{3, 3}] {3, 5}		5 tetraedrov	sam sebi
2{5, 3} [10{3, 3}] 2{3, 5}		10 tetraedrov	sam sebi
2{3, 4} [3{4, 2}] {4, 3}		3 štiristranih diedrov	{3, 4} [3{2, 4}] 2{4, 3}
{3, 4} [3{2, 4}] 2{4, 3}		3 štiristranih hozoedrov	2{3, 4} [3{4, 2}] {4, 3}
2{5, 3} [5{4, 3}]		5 kock	[5{3, 4}] 2{3, 5}
[5{3, 4}] 2{3, 5}		5 oktaedrov	2{5, 3} [5{4, 3}]

Pravilni teselacijski sestavi v evklidkem prostoru

Coxeterjev simbol	slika	nastal z združevanjem	dual
{4, 4} [(b2 + c2) {4, 4}] {4, 4}		kvadratnega tlakovanja	sam sebi
2{4, 4} [2(b2 + c2) {4, 4}] 2{4, 4}		2 kvadratnih tlakovanj	sam sebi
{3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{6, 3}		trikotnega tlakovanja	2{3, 6} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3}
2{3, 6} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3}		šestkotnega tlakovanja	{3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{6, 3}
2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{6, 3}		2 trikotnih tlakovanj	4{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3}
4{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3}		2 šestkotnih tlakovanj	2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{6, 3}
{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6}		2 trikotnih tlakovanj	2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6}
2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6}		2 šestkotnih tlakovanj	{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6}
2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{3, 6}		4 trikotnih tlakovanj	4{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6}
4{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6}		4 šestkotnih tlakovanj	2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}] 4{3, 6}
{3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] {3, 6}		trikotnega tlakovanja	{6, 3} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3}
{6, 3} [(b2 + bc + c2) {6, 3}] {6, 3}		šestkotnega tlakovanja	{3, 6} [(b2 + bc + c2) {3, 6}] {3, 6}
2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6}		2 trikotnih tlakovanj	2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3}
2{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{6, 3}		2 šestkotnih tlakovanj	2{3, 6} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}] 2{3, 6}
{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}]		2 trikotnih tlakovanj	[2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6}
[2(b2 + bc + c2) {6, 3}] {3, 6}		2 šestkotnih tlakovanj	{6, 3} [2(b2 + bc + c2) {3, 6}]
2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}]		4 trikotnih tlakovanj	[4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6}
[4(b2 + bc + c2) {6, 3}] 2{3, 6}		4 šestkotnih tlakovanj	2{6, 3} [4(b2 + bc + c2) {3, 6}]

Nekateri izmed virov prištevajo tudi naslednja dva sestava:

Pravilni teselacijski sestavi v evklidkem prostoru

Coxeterjev simbol	slika	nastal z združevanjem	dual
{3, 6} [3{3, 6}] 2{6, 3}		3 trikotnih tlakovanj	2{3, 6} [3{6, 3}] {6, 3}
2{3, 6} [3{6, 3}] {6, 3}		3 šestkotnih tlakovanj	{3, 6} [3{3, 6}] 2{6, 3}

{4, ∞} [2{∞, ∞}]{∞, 4}, ena izmed različic {4, q} [2{q, q}] {q, 4}, pri tej je q = ∞

Pravilni teselacijski sestavi v hiperboličnem prostoru

Coxeterjev simbol	nastal z združevanjem	dual
{4, q} [2{q, q}] {q, 4}	2 {q, q}	sam sebi
{3, 8} [6{8, 8}] {8, 3}	6 {8, 8}	sam sebi
{5, 5} [6{10, 10}] {5, 5}	6 {10, 10}	sam sebi
{4, 5} [12{10, 10}] {5, 4}	12 {10, 10}	sam sebi
{3, 7} [9{7, 7}] {7, 3}	9 {7, 7}	sam sebi
2{3, 7} [18{7, 7}] 2{7, 3}	18 {7, 7}	sam sebi
{3, 2q} [3{q, 2q}] 2{2q, 3}	3 {q, 2q}	2{3, 2q} [3{2q, q}] {2q, 3}
2{3, 2q} [3{2q, q}] {2q, 3}	3 {2q, q}	{3, 2q} [3{q, 2q}] 2{2q, 3}
{4, 5} [6{4, 10}] 2{4, 5}	6 {4, 10}	2{5, 4} [6{10, 4}] {5, 4}
2{5, 4} [6{10, 4}] {5, 4}	6 {10, 4}	{4, 5} [6{4, 10}] 2{4, 5}
{3, 7} [8{3, 14}] 2{3, 7}	8 {3, 14}	2{7, 3} [8{14, 3}] {7, 3}
2{7, 3} [8{14, 3}] {7, 3}	8 {14, 3}	{3, 7} [8{3, 14}] 2{3, 7}
{3, 7} [24{7, 14}] 2{7, 3}	24 {7, 14}	2{3, 7} [24{14, 7}] {7, 3}
2{3, 7} [24{14, 7}] {7, 3}	24 {14, 7}	{3, 7} [24{7, 14}] 2{7, 3}
{3, 9} [12{9, 18}] 2{9, 3}	12 {9, 18}	2{3, 9} [12{18, 9}] {9, 3}
2{3, 9} [12{18, 9}] {9, 3}	12 {18, 9}	{3, 9} [12{9, 18}] 2{9, 3}
{2q, q} [2{q, 2q}]	2 {q, 2q}	[2{2q, q}] {q, 2q}
[2{2q, q}] {q, 2q}	2 {2q, q}	{2q, q} [2{q, 2q}]
2{3, 7} [9{4, 7}]	9 {4, 7}	[9{7, 4}] 2{7, 3}
[9{7, 4}] 2{7, 3}	9 {7, 4}	2{3, 7} [9{4, 7}]
{3, 9} [4{3, 18}]	4 {3, 18}	[4{18, 3}] {9, 3}
[4{18, 3}] {9, 3}	4 {18, 3}	{3, 9} [4{3, 18}]

“Blended” teselacijski sestavi

Načeloma lahko imajo vsi teselacijski sestavi tudi svoji “blended” različici, vendar ni preverjeno, ali so potem še vedno pravilni sestavi. To področje je še zelo neraziskano.

Kompleksni poliedri

Poznamo 3 kompleksne poliedre in dve neskončni družini, ki jih je opisal Coxeter. Coxeter je v svoj seznam vključeval tudi Platonska telesa, vendar ker smo te že predstvaili, jih na tem seznamu ni.

	3{3}3{3}3	2{4}3{3}3	3{3}3{4}2	2{3}2{4}p	p{4}2{3}2
				p > 1
slika				glej spodnjo preglednico
stranska ploskev	3{3}3	2{4}3	3{3}3	trikotnik {3}	p{4}2
rob	3{}	{}	3{}	{}	p{}
Coxeterjevo število	9	18		3p
št. oglišč	27	54	72	3p	p3
št. stranskih ploskev	27	72	54	p3	3p
št. robov	72	216	216	3p2	3p2
Eulerjeva karakteristika	−18	−90	−90
slika oglišča	3{3}3	3{3}3	3{4}2	2{4}p	trikotnik {3}

Neskončni družini se v bistvu začneta že z evklidskimi poliedri. Kocka in oktaeder nastaneta, ko je p = 2. Tako pogosto imenujemo družini kot družina kompleksnih kock in družina kompleksnih oktaedrov. Naslednji seznam prikazuje prvih deset teles iz vsake družine, vključno z oktaedrom in heksaedrom (kocko). Kocka in oktaeder sta iz svoje slike neprepoznavna, saj smo ju projecirali na enak način, kot ostale, katerih ne moremo projecirati na ravnino na nam bolj intuitiven način.

p	2 (platonski telesi)	3	4	5	6	7	8	9	10
2{3}2{4}p oktaederska skupina										…
p{4}2{3}2 heksaederska skupina

Poliedri v višjih dimenzijah

Končni pravilni poševni poliedri obstojajo v štirirazsežnem prostoru. Ti končni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru se lahko obravnavajo kot podmnožica stranskih ploskev uniformnega polihorona. Dve dualni rašitvi sta povezani s 5-celico, dve dualni rešitvi sta povezani s 24-celico. Neskončna množica sebi dualnih duoprizem generira pravilne poševne poliedre z {4,4|n}. V neskončnosti limiti se približujejo duocilindru in izgleda kot torus v stereografski projekciji v trirazsežni prostor.

Končni pravilni poševni poliedri v štiri razsežnem prostoru

Ortogonalne projekcije na Coxeterjevo ravnino				Stereografska projekcija
A4		F4
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}	{4, 4 | n}

Abstraktni pravilni poliedri

V današnjem času se poliedri se razumejo kot tri razsežne splošne oblike politopov v poljubnem številu razsežnosti.

Polieder	srednji rombski triakontaeder	dodekadodekaeder	srednji triambskiikozaeder	ditrigonalni dodekadodekaeder	izkopan dodekaeder
Slika oglišč	{5}, {5/2}	(5.5/2)2	{5}, {5/2}	(5.5/3)3
Stranske ploskve	30 rombov	12 petkotnikov 12 pentagramov	20 šestkotnikov	12 petkotnikov 12 pentagramov	20 šestkotnikov
Tlakovanje	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}

Glej tudi

• kvazipravilni polieder
• polpravilni polieder
• uniformni polieder
• pravilni politop

Viri

• Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006), »The converse of Viviani's theorem«, The College Mathematics Journal, 37 (5): 390–391
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1999), »Poglavje 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937«, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, ISBN 0-486-40919-8

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Regular Polyhedron«. MathWorld.