Porazdelitev hi-kvadrat

Porazdelitev hi-kvadrat je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev vsot kvadratov neodvisnih normalno porazdeljenih slučajnih spremenljivk. Porazdelitev hi-kvadrat se pogosto uporablja pri statističnem testiranju hipotez ali pri kreiranju intervalov zaupanja.

Porazdelitev hi-kvadrat
Funkcija gostote verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi-kvadrat porazdelitev.
oznaka	$\chi ^{2}(k)\,$
parametri	k ∈ N1 — prostostne stopnje
interval	x ∈ [0, +∞)
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\,$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma (k/2,\,x/2)$
pričakovana vrednost	$k\,$
mediana	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}$
modus	max{ k − 2, 0 }
varianca	$2{k}\!$
simetrija	$\scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,$
sploščenost	${\frac {12}{k}}\!$
entropija	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$(1-2\,t)^{-k/2}$   za | t | ≤ ½
karakteristična funkcija	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$

Najbolj pogosto se porazdelitev hi-kvadrat v uporablja pri testu hi-kvadrat. Porazdelitev hi-kvadrat je poseben primer porazdelitve gama.

Definicija

Če so $X_{1}\!$, $X_{2}\!$, …..$X_{k}\!$ neodvisne slučajne spremenljivke, ki so normalno porazdeljene s pričakovano vrednostjo 0 in varianco 1, potem je slučajna spremenljivka

$Q=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}$

porazdeljena po porazdelitvi hi-kvadrat s k prostostnimi stopnjami. To zapišemo kot

$Q\ \sim \ \chi ^{2}(k).\,$.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev hi-kvadrat je

$f(x;\,k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{k/2-1}e^{-x/2}\,\mathbf {1} _{\{x\geq 0\}},$

kjer je

• $\Gamma (k/2)\!$ funkcija gama

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F(x;\,k)={\frac {\gamma (k/2,\,x/2)}{\Gamma (k/2)}}=P(k/2,\,x/2),$

kjer je

• $\gamma (k/2,\,x/2)\!$ spodnja nepopolna funkcija gama.
• $P(k/2,\,x/2)\!$ regulirana funkcija gama.

Kadar je $k=2\!$, dobi funkcija enostavnejšo obliko:

$F(x;\,2)=1-e^{-{\frac {x}{2}}}.$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$k\,$.

Varianca

Varianca je enaka

$2{k}\!$ .

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\frac {12}{k}}\!$

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je $(1-2\,t)^{-k/2}\!$  
za | t | ≤ ½

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je $(1-2\,i\,t)^{-k/2}$      

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Če so $X_{1},\ldots ,X_{n}$ neodvisne in normalno porazdeljene slučajne spremenljivke, da je $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,n$, potem ima

$Y=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$

porazdeltev hi-kvadrat .

• Kadar je $\!n=2$, se porazdelitev hi-kvadrat iznenači z eksponentno porazdelitvijo.

$\chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)\!$.

• Če velja $Y_{1}\sim \chi ^{2}(n_{1})\!$ in $Y_{2}\sim \chi ^{2}(n_{2})\!$, potem ima slučajna spremenljivka

$F={\frac {Y_{1}/n_{1}}{Y_{2}/n_{2}}}\!$

Fisherjevo porazdelitev s prostostnima stopnjama $\!(n_{1},n_{2})\!$.

Zunanje povezave

• opis porazdelitve na Mathworld (angleško)
• Porazdelitev hi kvadrat] (angleško)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev