Porazdelitev hi (porazdelitev chi) je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev .
Porazdelitev hi dobimo v primeru uporabe neodvisnih komponent k-dimenzionalnega verjetnostnega vektorja , od katerih je vsaka porazdeljena po normalni porazdelitvi . Dolžine vektorjev so v tem primeru porazdeljene po hi porazdelitvi s k prostostnimi stopnjami.
Porazdelitev hi
Funkcija gostote verjetnosti za hi porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za hi porazdelitev.
oznaka
χ
(
k
)
{\displaystyle \chi (k)\!}
C
h
i
(
k
)
{\displaystyle Chi(k)\!}
parameter
k
>
0
{\displaystyle k>0\,}
prostostne stopnje )
interval
x
∈
[
0
;
∞
)
{\displaystyle x\in [0;\infty )}
funkcija gostote verjetnosti
2
1
−
k
/
2
x
k
−
1
e
−
x
2
/
2
Γ
(
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}}
zbirna funkcija verjetnosti
P
(
k
/
2
,
x
2
/
2
)
{\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}
pričakovana vrednost
μ
=
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}
mediana
modus
k
−
1
{\displaystyle {\sqrt {k-1}}\,}
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
varianca
σ
2
=
k
−
μ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}
simetrija
γ
1
=
μ
σ
3
(
1
−
2
σ
2
)
{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}
sploščenost
2
σ
2
(
1
−
μ
σ
γ
1
−
σ
2
)
{\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}
entropija
ln
(
Γ
(
k
/
2
)
)
+
{\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}
1
2
(
k
−
ln
(
2
)
−
(
k
−
1
)
ψ
0
(
k
/
2
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}
funkcija generiranja momentov komplicirana (glej opis lastnosti)
karakteristična funkcija komplicirana (glej opis lastnosti)
Funkcija verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je
2
1
−
k
/
2
x
k
−
1
e
−
x
2
/
2
Γ
(
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{\Gamma (k/2)}}}
kjer je
Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
P
(
k
/
2
,
x
2
/
2
)
{\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}
kjer je
Pričakovana vrednost
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
μ
=
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}
Varianca je enaka
σ
2
=
k
−
μ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}
Sploščenost
uredi
Sploščenost je enaka
2
σ
2
(
1
−
μ
σ
γ
1
−
σ
2
)
{\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}
Funkcija generiranja momentov
uredi
Funkcija generiranja momentov je
M
(
t
)
=
M
(
k
2
,
1
2
,
t
2
2
)
+
{\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+}
t
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
M
(
k
+
1
2
,
3
2
,
t
2
2
)
{\displaystyle t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)}
Karakteristična funkcija
uredi
Karakteristična funkcija je
φ
(
t
;
k
)
=
M
(
k
2
,
1
2
,
−
t
2
2
)
+
{\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+}
i
t
2
Γ
(
(
k
+
1
)
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
M
(
k
+
1
2
,
3
2
,
−
t
2
2
)
{\displaystyle it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)}
kjer je
Povezave z drugimi porazdelitvami
uredi
če ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X
∼
χ
k
(
x
)
{\displaystyle X\sim \chi _{k}(x)\!}
slučajna spremenljivka
X
2
{\displaystyle X^{2}\!}
porazdelitev hi
X
2
∼
χ
k
2
{\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}
Rayleighjeva porazdelitev s
σ
=
1
{\displaystyle \sigma =1}
Boltzmannova porazdelitev (Maxwellova porazdelitev) za normalizirane hitrosti molekul se podreja hi porazdelitvi s tremi prostostnimi stopnjami .Če ima slučajna spremenljivka
X
{\displaystyle X\!}
X polnormalno porazdelitev za katerokoli nenegativno vrednost σ. Zunanje povezave
uredi
