Poddeterminanta

Poddeterminanta (tudi minor) (oznaka $M_{ij}\,$) matrike $A\,$ je determinanta, ki pripada kvadratni matriki, ki jo dobimo iz matrike $A\,$ tako, da v tej matriki izbrišemo eno vrstico in en stolpec. Dobljeno poddeterminanto označimo z $M_{ij}\,$.

Kadar v kvadratni matriki $n\times n\,$ brišemo i-to vrstico in j-ti stolpec, dobimo matriko z razsežnostjo $n-1\times n-1\,$. Če brišemo samo po en stolpec in eno vrstico, dobimo prvo poddeterminanto (tudi prvi minor), če pa brišemo po dve vrstici in dva stolpca, pa dobimo drugo poddeterminanto (tudi drugi minor) .

Povezava med kofaktorjem in poddeterminanto

Kofaktor $C_{ij}\,$ kvadratne matrike $A\,$ je zmnožek števila $(-1)^{i+j}\,$ in pripadajoče poddeterminante $M_{ij}\,$, ki ima razsežnost $n-1\times n-1\,$

$C_{ij}=(-1)^{i+j}.M_{ij}\,$

kjer je

• $C_{ij}\,$ kofaktor
• $M_{ij}\,$ poddeterminanta, ki nastane z brisanjem i-te vrstice in j-tega stolpca

Pri tem pa matriko z elementi $C_{ij}\,$ imenujemo matriko kofaktorjev. Transponirana matrika matrike kofaktorjev se imenuje adjungirana (prirejena) matrika.

Primer

Recimo, da imamo matriko

${\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}$

Če hočemo določiti kofaktor $C_{23}\,$ moramo v determinanti izbrisati vrstico 2 in stolpec 3. To nam da za pripadajočo poddeterminanto, ki jo označimo z $M_{23}\,$, vrednost ${\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(9-(-4))=13$.

Iz tega sledi, da je

$C_{23}=(-1)^{2+3}.M_{23}=-13\,$.

Glavna poddeterminanta

Kadar je $i=j\,$, potem se poddeterminanta $M_{ij}\,$ imenuje glavna poddeterminanta matrike (glavni minor).

Zunanje povezave

• Poddeterminanta (angleško)