Plückerjeva konoida (tudi cilindroid ali klinasti odsek stožca) je ploskev četrte stopnje .
Plückerjeva konoida z n =2. Animacija nastanka Plückerjeve konoide, ki ima n = 3. Plückerjeva konoida z n = 4.
Plückerjeva konoida z n = 2.
Plückerjeva konoida z n = 3
Plückerjeva konoida je dana s funkcijo dveh spremenljivk
z
=
2
x
y
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle z={\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}}.}
Z uporabo cilindričnih koordinat lahko zgornjo funkcijo pišemo kot
x
=
v
cos
u
,
y
=
v
sin
u
,
z
=
sin
2
u
.
{\displaystyle x=v\cos u,\quad y=v\sin u,\quad z=\sin 2u.}
To pa pomeni, da je Plückerjeva konoida tudi prava konoida . Dobimo jo z vrtenjem horizontalne daljice okoli z-osi z nihajočim gibanjem (s perido 2π ) vzdolž segmenta [-1, 1] osi (glej prvo animacijo spodaj).
Posplošitev Plückerjeve konoide je dana s parametričnimi enačbami
x
=
v
cos
u
,
y
=
v
sin
u
,
z
=
sin
n
u
{\displaystyle x=v\cos u,\quad y=v\sin u,\quad z=\sin nu}
kjer je
n
{\displaystyle n}
število gub (zavojev) na ploskvi
Parametrizacija v polarnih koodinatah je enaka
x
(
r
,
θ
)
=
r
cos
(
θ
)
{\displaystyle x(r,\theta )=r\cos(\theta )}
x
(
r
,
θ
)
=
r
sin
(
θ
)
{\displaystyle x(r,\theta )=r\sin(\theta )}
x
(
r
,
θ
)
=
2
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
{\displaystyle x(r,\theta )=2\cos(\theta )\sin(\theta )}
[1]
Gaussova ukrivljenost
uredi
Gaussova ukrivljenost Plückerjeve konoide je enaka
K
=
4
c
2
n
2
cos
2
(
n
t
)
2
r
2
+
c
2
r
2
[
1
+
|
c
o
s
(
2
n
t
)
]
3
/
2
{\displaystyle K={\frac {4c^{2}n^{2}\cos ^{2}(nt)}{{2r^{2}+c^{2}r^{2}[1+|cos(2nt)]}^{3/2}}}}
[1]
Srednja ukrivljenost
uredi
Srednja ukrivljenost je enaka
H
=
2
c
n
2
r
sin
(
n
t
)
2
r
2
+
c
2
r
2
[
1
+
[
cos
(
2
n
t
)
]
3
/
2
{\displaystyle H={\frac {{\sqrt {2}}cn^{2}r\sin(nt)}{{2r^{2}+c^{2}r^{2}[1+[\cos(2nt)]}^{3/2}}}}
[1]
Opombe in sklici
uredi
Zunanje povezave
uredi