Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.
Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki. Diferenciacija in izpeljava
uredi
m
=
sprememba v
y
sprememba v
x
=
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle m={{\mbox{sprememba v }}y \over {\mbox{sprememba v }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}}
Definicija z diferenčnim količnikom
uredi
Naj bo
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
{\displaystyle x}
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
.
{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}
Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient . Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti .
Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti :
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
{\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}}
diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a . Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu ).
Zveznost in odvedljivost
uredi
Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.
Odvod kot funkcija
uredi
Višji odvodi
uredi
Zapisovanje odvoda
uredi
Leibnizev zapis
uredi
Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.
d
y
d
x
,
d
(
f
(
x
)
)
d
x
,
a
l
i
d
d
x
(
f
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d}{dx}}{\bigl (}f(x){\bigr )}.}
Višje odvode zapišemo kot
d
n
y
d
x
n
,
d
n
(
f
(
x
)
)
d
x
n
,
a
l
i
d
n
d
x
n
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},\;\;\mathrm {ali} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}
za n -ti odvod funkcije y=f(x)
Lagrangeev zapis
uredi
Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange . Za oznako je uporabil znak unča . Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .
Newtonov zapis
uredi
Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t , njen odvod zapišemo
y
˙
{\displaystyle {\dot {y}}}
Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki , kjer je običajno s piko označen časovni odvod , oziroma odvod po času .
Eulerjev zapis
uredi
Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D , ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df .
Računanje odvoda
uredi
Glavni članek: Tabela odvodov . Pravila za sestavljanje funkcij
uredi
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
±
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)\!\,}
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!\,}
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}\!\,}
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\!\,}
Odvodi elementarnih funkcij
uredi
odvod konstante : če je g(x) = c (konstanta), potem
g
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle g'(x)=0\,\!}
odvod potence : če je
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}\,}
r realno število , potem
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,}
Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana.
Na primer: če je r = 1/2, sledi
f
′
(
x
)
=
(
1
/
2
)
x
−
1
/
2
{\displaystyle f'(x)=(1/2)x^{-1/2}\,}
x .
odvod eksponentne funkcije :
Naravna eksponentna funkcija
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=e^{x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f'(x)=e^{x}\,\!}
V splošnem pa je odvod funkcije
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
a
x
ln
a
{\displaystyle f'(x)=a^{x}\ln a\,\!}
odvod logaritemske funkcije :
Naravna logaritemska funkcija
f
(
x
)
=
ln
x
{\displaystyle f(x)=\ln x\,\!}
f
′
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}
V splošnem je odvod logaritemske funkcije
f
(
x
)
=
log
a
x
{\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,\!}
f
′
(
x
)
=
1
x
ln
a
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\ln a}}}
Odvodi trigonometrijskih funkcij
uredi
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\!}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\!}
(
sin
2
x
)
′
=
2
cos
2
x
{\displaystyle (\sin 2x)'=2\cos 2x\!}
(
cos
2
x
)
′
=
−
2
sin
2
x
{\displaystyle (\cos 2x)'=-2\sin 2x\!}
(
sin
(
n
x
)
)
′
=
n
cos
(
n
x
)
{\displaystyle (\sin(nx))'=n\cos(nx)\!}
(
sin
2
x
)
′
=
2
sin
x
cos
x
=
sin
2
x
{\displaystyle (\sin ^{2}x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\!}
(
cos
2
x
)
′
=
−
2
sin
x
cos
x
=
−
sin
2
x
{\displaystyle (\cos ^{2}x)'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\!}
(
sin
n
x
)
′
=
n
sin
(
n
−
1
)
x
cos
x
{\displaystyle (\sin ^{n}x)'=n\sin ^{(n-1)}x\cos x\!}
(
cos
n
x
)
′
=
−
n
sin
x
cos
(
n
−
1
)
x
{\displaystyle (\cos ^{n}x)'=-n\sin x\cos ^{(n-1)}x\!}
(
tan
x
)
′
=
1
cos
2
x
;
cos
x
≠
0
{\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}};\;\cos x\neq 0}
(
cot
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
;
sin
x
≠
0
{\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}};\;\sin x\neq 0}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Odvodi drugih funkcij:
uredi
(
k
)
′
=
0
{\displaystyle (k)'=0}
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
(
ln
|
x
|
)
′
=
1
x
{\displaystyle (\ln |x|)'={\frac {1}{x}}}
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
{\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}
Odvajanje v višjih razsežnostih
uredi
Odvajanje vektorskih funkcij
uredi
Parcialno odvajanje
uredi
Smerni odvod
uredi
Naj bo
n
{\displaystyle n}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
Ogledamo si izraz
lim
h
→
0
u
(
x
+
h
b
1
,
y
+
h
b
2
,
z
+
h
b
3
)
−
u
(
x
,
y
,
z
)
h
=
d
u
d
b
→
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {u(x+hb_{1},y+hb_{2},z+hb_{3})-u(x,y,z)}{h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}}
Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
d
u
d
h
=
d
u
d
x
d
x
d
h
+
d
u
d
y
d
y
d
h
+
d
u
d
z
d
z
d
h
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}h}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}{\frac {{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}{\frac {{\mbox{d}}y}{{\mbox{d}}h}}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}{\frac {{\mbox{d}}z}{{\mbox{d}}h}}\,\!}
Sledi
d
u
d
b
→
=
d
u
d
x
b
1
+
d
u
d
y
b
2
+
d
u
d
z
b
3
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}b_{1}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}y}}b_{2}+{\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}z}}b_{3}}
pri čemer je
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
Torej
d
u
d
b
→
=
grad
u
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
=
grad
u
b
→
,
b
→
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u(b_{1},b_{2},b_{3})={\mbox{grad}}\,u{\vec {b}},\qquad {\vec {b}}}
d
u
d
b
→
=
grad
u
⋅
b
→
{\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}{\vec {b}}}}={\mbox{grad}}\,u\cdot {\vec {b}}}
Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial
uredi
Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov
primer za vpeljavo novih spremenljivk:
J
=
|
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
|
{\displaystyle J={\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v}&x_{w}\\y_{u}&y_{v}&y_{w}\\z_{u}&z_{v}&z_{w}\end{vmatrix}}}
Zunanje povezave
uredi
Opredelitve v Wikislovarju
Predstavnosti v Zbirki
Novice v Wikinovicah
Navedki v Wikinavedku
Besedila v Wikiviru
Učbeniki v Wikiknjigah
Viri v Wikiverzi
