Matrika preslikave (tudi transformacijska matrika ali matrika prehoda) je matrika , ki predstavlja linearno transformacijo iz
R
n
{\displaystyle R^{n}\,}
R
m
{\displaystyle R^{m}\,}
T
(
x
→
)
=
A
x
→
{\displaystyle T({\vec {x}})=\mathbf {A} {\vec {x}}}
kjer je
A
{\displaystyle A\,}
m
×
n
{\displaystyle m\times n\,}
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}\,}
stolpični vektor z
n
{\displaystyle n\,}
T
{\displaystyle T\,}
vektorja Matrika pomeni prehod med dvema končno razsežnima vektorskima prostoroma . To je prehod iz baze z vektorji
a
→
1
,
⋯
,
a
→
n
{\displaystyle {\vec {a}}_{1},\cdots ,{\vec {a}}_{n}\,}
b
→
1
,
⋯
,
b
→
n
{\displaystyle {\vec {b}}_{1},\cdots ,{\vec {b}}_{n}\,}
vrstičnega vektorja
Primeri v dvorazsežni grafiki
uredi
Najbolj pogoste geometrijske preslikave obdržijo stalno izhodišče. Med te preslikave prištevamo vrtenje, povečevanje in zmanjševanje, striženje, zrcaljenje in pravokotno projekcijo.
Vrtenje za kot
θ
{\displaystyle \theta \,}
[
x
′
y
′
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
[
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v nasprotni smeri urinih kazalcev:
[
0
−
1
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
kjer je
x
′
{\displaystyle x'\,}
x
{\displaystyle x\,}
θ
{\displaystyle \theta \,}
Podobno je pri vrtenju v smeri gibanja urinih kazalcev
[
x
′
y
′
]
=
[
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
]
[
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v smeri urinih kazalcev:
[
0
1
−
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}
Povečevanje in zmanjševanje
uredi
Povečevanje in zmanjševanje pomeni spremembo merila v katerem prikazujemo sliko.
Če označimo z
x
′
{\displaystyle x'\,}
y
′
{\displaystyle y'\,}
x
′
=
s
x
⋅
x
{\displaystyle x'=s_{x}\cdot x}
y
′
=
s
y
⋅
y
{\displaystyle y'=s_{y}\cdot y}
Matrika transformacije je
[
x
′
y
′
]
=
[
s
x
0
0
s
y
]
[
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
Kadar velja tudi
s
x
s
y
=
1
{\displaystyle s_{x}s_{y}=1\,}
stiskanje (pri tem se ohranja površina).
Nekateri povečevanje in zmanjševanje imenujejo tudi skaliranje [1]
Strig je podoben nagibanju slike. Možni sta dve obliki: Strig vzdolž osi-y tako, da so nove koordinate
x
′
=
x
+
k
y
{\displaystyle x'=x+ky\,}
y
′
=
y
{\displaystyle y'=y\,}
strižna matrika za stolpični vektor enaka
[
x
′
y
′
]
=
[
1
k
0
1
]
[
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
Druga oblika pa je striženje vzdolž osi-x . Pri tem so nove koordinate
x
′
=
x
{\displaystyle x'=x\,}
y
′
=
y
+
k
x
{\displaystyle y'=y+kx\,}
[
x
′
y
′
]
=
[
1
0
k
1
]
[
x
y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
Zrcaljenje
uredi
Če zrcalimo preko premice , ki teče preko izhodišča in ima smer vektorja
l
→
=
(
l
x
,
l
y
)
{\displaystyle {\vec {l}}=(l_{x},l_{y})\,}
A
=
[
1
−
2
a
2
−
2
a
b
−
2
a
c
−
2
a
b
1
−
2
b
2
−
2
b
c
−
2
a
c
−
2
b
c
1
−
2
c
2
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}
Pravokotna projekcija
uredi
Če hočemo izvesti projekcijo vektorja na premico, ki teče skozi izhodišče, naj bo
u
→
=
(
u
x
,
u
y
)
{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{x},u_{y})\,}
A
=
1
‖
u
→
‖
2
[
u
x
2
u
x
u
y
u
x
u
y
u
y
2
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert {\vec {u}}\rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}
Opombe in sklici
uredi
Zunanje povezave
uredi
