Logaritemska normalna porazdelitev (tudi lognormalna porazdelitev ali Galtonova porazdelitev ) je družina dvoparametričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev slučajne spremenljivke , katere logaritem je normalno porazdeljen .
Logaritemsko normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.Zbirna funkcija verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev.oznaka
log − N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle \log -{\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})}
parametri
σ 2 > 0 {\displaystyle \sigma ^{2}>0\!} μ ϵ R {\displaystyle \mu {\boldsymbol {\epsilon }}R\!} — parameter lokacije
interval
x ϵ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x{\boldsymbol {\epsilon }}(0,\infty )\!}
funkcija gostote verjetnosti (pdf)
1 x 2 π σ 2 exp [ − ( ln x − μ ) 2 2 σ 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}\exp \!\left[-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
1 2 + 1 2 e r f [ ln x − μ 2 σ 2 ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}{\Big ]}}
pričakovana vrednost
e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
mediana
e μ {\displaystyle e^{\mu }\,}
modus
e μ − σ 2 {\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}
varianca
( e σ 2 − 1 ) e 2 μ + σ 2 {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}
simetrija
( e σ 2 + 2 ) e σ 2 − 1 {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}
sploščenost
e 4 σ 2 + 2 e 3 σ 2 + 3 e 2 σ 2 − 3 {\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-3}
entropija
1 2 + 1 2 ln ( 2 π σ 2 ) + μ {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }
funkcija generiranja momentov (mgf)
(določena je samo za negativne vrednosti na intervalu ( 0 , − ∞ ] {\displaystyle (0,-\infty ]\!} )
karakteristična funkcija
lahko uporabljamo obrazec ∑ n = 0 ∞ ( i t ) n n ! e n μ + n 2 σ 2 / 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}} , ki je asimptotično divergenten , vendar primeren za izračunavanje
Funkcija gostote verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za logaritemsko normalno porazdelitev je
f X ( x ; μ , σ ) = 1 x σ 2 π e − ( ln x − μ ) 2 2 σ 2 , x > 0 {\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\ \ x>0} .Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
F X ( x ; μ , σ ) = 1 2 erfc [ − ln x − μ σ 2 ] {\displaystyle F_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]\!} kjer je
erfc ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\!} komplementarna funkcija napake .Pričakovana vrednost
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} .
Varianca je enaka
( e σ 2 − 1 ) e 2 μ + σ 2 {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}} .Sploščenost
uredi
Sploščenost je
e 4 σ 2 + 2 e 3 σ 2 + 3 e 2 σ 2 − 3 {\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-3} .Koeficient simetrije
uredi
Koeficient simetrije je enak
( e σ 2 + 2 ) e σ 2 − 1 {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}} .Funkcija generiranja momentov
uredi
Funkcija generiranja momentov je določena je samo za negativne vrednosti na intervalu ( 0 , − ∞ ] {\displaystyle (0,-\infty ]\!} .
Karakteristična funkcija
uredi
Za karakteristično funkcijo lahko uporabimo obrazec
∑ n = 0 ∞ ( i t ) n n ! e n μ + n 2 σ 2 / 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}} , ki je sicer asimptotično divergenten , toda je uporaben za izračunavanje..
Povezave z drugimi porazdelitvami
uredi
Če je slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} porazdeljena po normalni porazdelitvi, kar zapišemo kot X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} , potem velja tudi exp ( X ) ∼ l o g - N ( μ , σ 2 ) . {\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2}).} . Če ima slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} logaritemsko normalno porazdelitev X ∼ l o g - N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})} , potem je ln ( X ) ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} normalno porazdeljena slučajna spremenljivka. Če so X j ∼ l o g - N ( μ j , σ j 2 ) {\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})} statistično neodvisne slučajne spremenljivke, ki so logaritemsko normalno porazdeljene, in če velja Y = ∏ j = 1 n X j {\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}} , potem je slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} tudi logaritemsko normalno porazdeljena, kar zapišemo kot Y ∼ l o g - N ( ∑ j = 1 n μ j , ∑ j = 1 n σ j 2 ) . {\displaystyle Y\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.} .
Če je slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} porazdeljena logaritemsko normalno X ∼ l o g - N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})} , potem pravimo, da ima X + c {\displaystyle X+c\!} premaknjeno logaritemsko normalno porazdelitev . Kadar ima slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} logaritemsko normalno porazdelitev X ∼ l o g - N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})} , potem ima slučajna spremenljivka Y = Y . a {\displaystyle Y=Y.a\!} tudi logaritemsko normalno porazdelitev Y ∼ l o g - N ( ln a + μ , σ 2 ) . {\displaystyle Y\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\ln a+\mu ,\ \sigma ^{2}).} Kadar ima slučajna spremenljivka X {\displaystyle X\!} logaritemsko normalno porazdelitev X ∼ l o g - N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (\mu ,\sigma ^{2})} , potem ima tudi Y = 1 / X {\displaystyle Y=1/X\!} logaritemsko normalno porazdelitev Y ∼ l o g - N ( − μ , σ 2 ) . {\displaystyle Y\sim \operatorname {log-{\mathcal {N}}} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).} Zunanje povezave
uredi