Kravčukove matrike

Kravčukove matrike so v matematiki matrike, katerih elementi so vrednosti Kravčukovih polinomov v nenegativnih celih točkah. Imenujejo se po Mihajlu Pilipoviču Kravčuku

Kravčukova matrika K⁽ⁿ⁾ je reda (n+1)×(n+1). Vrednosti elementov Kravčukove matrike so enake:

$K_{ij}^{(n)}=\Sigma _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {n-j}{i-k}}\!\,.$

Za nekaj prvih vrednosti n so matrike enake:

$K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right]\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}}\right]$

$K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{array}}\right]\qquad K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1\end{array}}\right]$

$K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\\10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right]$

$K^{(6)}=\left[{\begin{array}{rrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1\\6&4&2&0&-2&-4&-6\\15&5&-1&-3&-1&5&15\\20&0&-4&0&4&0&-20\\15&-5&-1&3&-1&-5&15\\6&-4&2&0&-2&4&-6\\1&-1&1&-1&1&-1&1\end{array}}\right]$

Stolpce Kravčukove matrike imamo lahko za posplošene binomske koeficiente. Vrstice določajo Kravčukove polinome. Za določen n ima i-ti Kravčukov polinom vrednost iz t-te vrstice:

$k_{i}(j,n)=K_{ij}^{(n)}\!\,.$

Kvadrat Kravčukove matrike je sorazmeren z identično matriko:

$\left[K^{(n)}\right]^{2}=2^{n}\cdot I\!\,.$

Zunanje povezave

• Krawtchouk encyclopedia (angleško)