Izrek o povprečni vrednosti

Izrèk o povpréčni vrédnosti (tudi Lagrangeev izrèk ali izrèk o kônčnem prirástku fúnkcije) je v matematični analizi izrek, ki pravi, da v danem odseku gladke krivulje obstaja točka, v kateri je odvod (nagib) krivulje enak »povprečnemu« odvodu intervala. Izrek se uporablja pri dokazovanju izrekov, ki obravnavajo funkcije na intervalu.

Za vsako funkcijo, ki je zvezna na [a, b] in odvedljiva na (a, b), obstaja neka točka c na odprtem intervalu (a, b), da je sekanta, ki povezuje obe končni točki intervala [a, b], vzporedna tangenti v c.

Povprečna vrednost integrabilne funkcije na intervalu $[a,b]$ je število:

$P={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Izrek lahko razumemo tudi s pomočjo gibanja. Če avtomobil prepotuje v eni uri 100 km in je njegova povprečna hitrost enaka 100 km/h, potem je morala biti v nekem trenutku njegova trenutna hitrost enaka natanko 100 km/h.

Izrek je prvi razvil Joseph-Louis de Lagrange in se imenuje tudi po njem.

Formalna izjava

Naj je funkcija $y=f(x)$ v zaprtem intervalu $[a,b]$ zvezna in v odprtem intervalu $(a,b)$ odvedljiva. Tedaj obstaja vsaj eno takšno število $\xi$ med a in b, da je:

${f(b)-f(a) \over b-a}=f'(\xi )\qquad a<\xi <b\;.$

Če pišemo drugače, $b=a+h$ in označimo s $\vartheta$ število med 0 in 1:

$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\vartheta h)\qquad 0<\vartheta <1\;.$

Posplošitev Lagrangeevega izreka je Taylorjev izrek.