Hermitski operator

Hermitski operator je matematični operator, kjer vsak operator $O$ predstavlja sebi-adjungiran operator $O^{\dagger }$ v geometrijskem prostoru.

${\displaystyle O}=O^{\dagger }$, v vektorskem prostoru označimo to s pomočjo skalarnega produkta in sicer je ${\displaystyle \left\langle Ox,y\right\rangle =\left\langle x,Oy\right\rangle }$

Hermitski operator je uvedel Charles Hermite. Ta se najpogosteje uporablja v kvantni mehaniki in kvantni fiziki. Najdemo ga prav v Schrödingerjeva enačbi.

Hermitska matrika

Hermitska matrika je enaka svoji adjungirani matriki $A={\displaystyle A^{\dagger }}$,

Ta ima realne lastne vrednosti in lastni vektorji, ki pripadajo različnim lastnim vektorjem so pravokotni.

Naj bo λ lastna vrednost hermitske matrike A, ki pripada lastnemu vektorju x.

$A\lambda =\lambda x,(x,A,x)=\lambda (x,x)=(Ax,x^{\dagger })=\lambda ^{\dagger }(x,x)\longrightarrow \lambda =\lambda ^{\dagger }$

Ortogonalnost lastnih vektorjev, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim dokažemo z

$A^{\mathrm {T} }*A=A*A^{\mathrm {T} }=I$

$A={\begin{pmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{pmatrix}}$.

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\det(A)=1$

Stanja hermitskega operatorja

Naj bo $O$ hermitski operator. Lastne vrednosti prostorske matrike označimo z $\lambda _{i}$, ustrezne lastne vrednosti pa označimo kar z $|\lambda _{i}\rangle$.

Stanje $|\psi \rangle$, razvijemo po lastnih vektorjih operatorja $O$

$|\psi \rangle =\sum _{i}\alpha _{i}|\lambda _{i}\rangle$

Pričakovana vrednost operatorja $O$ v stanju $|\psi \rangle$ bo tako

$\left\langle L\right\rangle =\langle \psi |L|\psi \rangle =\sum _{i}(\alpha _{i}^{\dagger }\alpha _{i})\lambda _{i}$