Harmónična vŕsta je v matematiki divergentna vrsta :
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \!\,.}
Tako se imenuje, ker so valovne dolžine delnih tonov nihajoče strune sorazmerne z 1, 1/2, 1/3, 1/4, ··· . Vsak člen vrste za prvim je harmonična sredina sosednjih dveh členov, predhodnega in naslednjega,
H
(
a
n
−
1
,
a
n
+
1
)
{\displaystyle H(a_{n-1},a_{n+1})}
1
2
=
2
1
+
1
1
3
,
1
3
=
2
1
1
2
+
1
1
4
,
1
4
=
2
1
1
3
+
1
1
5
,
1
5
=
2
1
1
4
+
1
1
6
,
⋯
,
1
a
n
=
2
1
1
a
n
−
1
+
1
1
a
n
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{1+{\frac {1}{\frac {1}{3}}}}},\quad {\frac {1}{3}}={\frac {2}{{\frac {1}{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{\frac {1}{4}}}}},\quad {\frac {1}{4}}={\frac {2}{{\frac {1}{\frac {1}{3}}}+{\frac {1}{\frac {1}{5}}}}},\quad {\frac {1}{5}}={\frac {2}{{\frac {1}{\frac {1}{4}}}+{\frac {1}{\frac {1}{6}}}}},\quad \cdots ,\quad {\frac {1}{a_{n}}}={\frac {2}{{\frac {1}{\frac {1}{a_{n-1}}}}+{\frac {1}{\frac {1}{a_{n+1}}}}}}\!\,.}
Zaporedje členov s takšnimi značilnostmi je harmonično zaporedje, harmonična vrsta pa je vsota harmoničnega zaporedja (vsota členov harmoničnega zaporedja).
Tudi izraz harmonična sredina izvira iz glasbe .
Vrsta divergira, sicer počasi, k neskončnosti (vsota prvih 1043 členov je manj kot 100 ). To se lahko lepo pokaže z dejstvom, da je harmonična vrsta po členih večja ali enaka z vrsto:
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
[
1
2
]
+
[
1
3
+
1
4
]
+
[
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
]
+
[
1
9
+
⋯
]
+
⋯
∑
n
=
1
∞
1
2
⌈
log
2
n
⌉
=
1
+
[
1
2
]
+
[
1
4
+
1
4
]
+
[
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
]
+
[
1
16
+
⋯
]
+
⋯
=
1
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
⋯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lceil \log _{2}n\rceil }}}\!&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots \!\,,\end{aligned}}}
ki očitno divergira. Ta dokaz je podal Nicole Oresme v 14. stoletju in predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike. Kasneje so dokaze podali Pietro Mengoli , Johann in Jakob Bernoulli v 17. stoletju. Celo vsota obratnih vrednosti praštevil divergira k neskončnosti, čeprav je to težje dokazati.
Konvergenca alternirajoče harmonične vrste
uredi
Prvih štirinajst delnih vsot alternirajoče harmonične vrste (črni odseki) kaže njeno konvergenco k naravnemu logaritmu od 2 (rdeča premica) Alternirajoča harmonična vrsta
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
⋯
=
ln
2
=
0
,
693
147
180
…
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2=0,693\,147\,180\,\dots \!\,.}
Konvergenco alternirajoče harmonične vrste je leta 1650 v članku dokazal Mengoli. Ta enakost je posledica Mercatorjeve vrste , Taylorjeve vrste za naravni logaritem . Po obliki Mercatorjevi vrsti sorodna je vrsta:
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
=
arctan
(
1
)
=
π
4
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\!\,.}
To je posledica razvoja krožne fukncije arkus tangens v Taylorjevo vrsto, katere konvergenčni polmer je enak 1.
Delne vsote
uredi
n -ta delna vsota harmonične vrste:
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\!\,}
se imenuje n -to harmonično število
Razlika med n -tim harmoničnim številom in naravnim logaritmom od n konvergira k Euler-Macheronijevi konstanti :
lim
n
→
∞
(
H
n
−
ln
n
)
=
γ
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma \!\,.}
Razlika med dvema različnima harmoničnima številoma ni nikoli celo število .
Splošna harmonična vrsta
uredi
Splošna harmonična vrsta ima obliko:
∑
n
=
0
∞
1
a
n
+
b
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}\!\,,}
kjer sta konstanti a in b končni realni števili .
Vse splošne harmonične vrste divergirajo.[1]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lceil \log _{2}n\rceil }}}\!&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots \!\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82945d702c8f6c691d3b1901bd75761e02d4904b)
