Dirichletova funkcija beta
Dirichletova funkcija beta (tudi Catalanova funkcija beta; običajna označba ) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija, tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ. Je posebni primer Dirichletove L-funkcije, L-funkcije z alternirajočim karakterjem periode 4. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu in včasih po belgijskem matematiku Eugèneu Charlesu Catalanu.
Definicija uredi
Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta:[1]
ali enakovredno kot:
kjer je funkcija Γ. V obeh primerih je .
S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot:[2]
na celi kompleksni -ravnini.
Z Lerchevim transcendentom je določena kot:
ki spet velja za vse kompleksne vrednosti .
Vrsta za Dirichletovo funkcijo β se lahko tvori tudi s pomočjo funkcije poligama:
Funkcijska enačba uredi
Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine . Dana je z:
Značilnosti uredi
Posebne vrednosti uredi
Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so:
kjer je zgoraj zgled funkcije poligama.
Euler je pokazal, da je v splošnem za lihe , racionalni mnogokratnik , torej za poljubno pozitivno celo število :
kjer so Eulerjeva števila. Za celo število velja:
oziroma:
Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta:
s | približne vrednosti β(s) | OEIS |
---|---|---|
1/5 | 0,5737108471859466493572665 | |
1/4 | 0,5907230564424947318659591 | |
1/3 | 0,6178550888488520660725389 | |
1/2 | 0,6676914571896091766586909 | A195103 |
1 | 0,7853981633974483096156608 | A003881 |
2 | 0,9159655941772190150546035 | A006752 |
3 | 0,9689461462593693804836348 | A153071 |
4 | 0,9889445517411053361084226 | A175572 |
5 | 0,9961578280770880640063194 | A175571 |
6 | 0,9986852222184381354416008 | A175570 |
7 | 0,9995545078905399094963465 | A258814 |
8 | 0,9998499902468296563380671 | A258815 |
9 | 0,9999496841872200898213589 | A258816 |
10 | 0,9999831640261968774055407 |
Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala, da je vsaj eno od sedmih števil: , , , , , ali iracionalno.[3]
Guillera in Sondow sta leta 2005 dokazala formulo z dvojnim integralom:[4]
Odvajanje uredi
Odvod za vse je dan z:
Nekatere posebne vrednosti odvodov:
Za pozitivna cela števila velja še naprej:
Glej tudi uredi
Sklici uredi
- ↑ Abramowitz; Stegun (1972), str. 807.
- ↑ »Dirichlet Beta - Hurwitz zeta relation«. Engineering Mathematics (v angleščini). 8. november 2012. Pridobljeno 25. julija 2015.
- ↑ Rivoal; Zudilin (2003).
- ↑ Guillera; Sondow (2008).
Viri uredi
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Anne (1972). »Riemann Zeta Function and other Sums of Recirocal Powers. §23.2«. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9. izd.). New York: Dover. str. 807–808. ISBN 978-0486612720. MR 0167642. Glej razdelek §23.2
- Glasser, M. L. (1972). »The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures«. J. Math. Phys. Zv. 14. str. 409. doi:10.1063/1.1666331.
- Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008), »Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent«, Ramanujan Journal. An international Journal devoted to the areas of mathematics, 16 (3): 247–270, arXiv:math/0506319, ISSN 1382-4090
- Rivoal, Tanguy; Zudilin, Vadim Valentinovič (2003). »Diophantine Properties of Numbers Related to Catalan's Constant« (PDF). Math. Ann. Zv. 326. str. 705–721. Arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 13. januarja 2011. Pridobljeno 9. novembra 2009.
- Spanier, J.; Oldham, K. B. (1987). An Atlas of Functions. New York: Hemisphere.