Cramerjevo pravilo se uporablja v linearni algebri za reševanje sistema linearnih enačb , ki vsebuje toliko enačb kot je v sistemu neznank. Pravilo je uporabno samo, če obstaja ena rešitev.
Imenuje se po švicarskem matematiku Gabrielu Cramerju (1704 – 1752), ki ga je objavil leta 1750 .
Uporabljamo ga lahko tudi za druge vrste števil (obsege ) in ne samo za realna števila . Pravilo je neprimerno za uporabo pri sistemih z večjim številom neznank. Za takšne primere je boljše, če uporabimo katero izmed drugih metod reševanja sistema linearnih enačb (npr. Gaussova eliminacijska metoda ).
Opis pravila
uredi
Predpostavimo, da imamo sistem n linearnih enačb
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
…
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
…
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
…
+
a
n
n
x
n
=
b
n
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}
To lahko zapišemo v matrični obliki kot
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
=
(
b
1
b
2
⋮
b
m
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}
ali
A
x
=
B
{\displaystyle Ax=B\,}
V tem primeru dobimo rešitve kot
x
i
=
det
(
A
i
)
det
(
A
)
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n\,}
kjer je
A
i
{\displaystyle A_{i}\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
{\displaystyle A\,}
Imamo naslednji sistem linearnih enačb
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\\end{cases}}}
ali
A
x
=
B
{\displaystyle Ax=B\,}
Determinante , ki jih potrebujemo za izračun rešitev sistema linearnih enačb, so:
Δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
,
Δ
1
=
|
b
1
a
12
a
13
b
2
a
22
a
23
b
3
a
32
a
33
|
,
Δ
2
=
|
a
11
b
1
a
13
a
21
b
2
a
23
a
31
b
3
a
33
|
,
Δ
3
=
|
a
11
a
12
b
1
a
21
a
22
b
2
a
31
a
32
b
3
|
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}
Rešitev sistema je:
x
1
=
Δ
1
Δ
,
x
2
=
Δ
2
Δ
,
x
3
=
Δ
3
Δ
{\displaystyle x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ \ x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}}
kjer je
Δ
{\displaystyle \Delta \,}
A
{\displaystyle A\,}
Δ
1
{\displaystyle {\Delta _{1}}\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
Δ
2
{\displaystyle {\Delta _{2}}\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
Δ
3
{\displaystyle {\Delta _{3}}\,}
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
V nadaljevanju je prikazan zgled reševanja sistema enačb
82
x
1
+
45
x
2
+
9
x
3
=
1
27
x
1
+
16
x
2
+
3
x
3
=
1
9
x
1
+
5
x
2
+
1
x
3
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}82\,x_{1}+45\,x_{2}+9\,x_{3}=1\\27\,x_{1}+16\,x_{2}+3\,x_{3}=1\\9\,x_{1}+5\,x_{2}+1\,x_{3}=0\\\end{matrix}}}
Razširjena matrika sistema enačb je:
(
A
b
)
=
(
82
45
9
1
27
16
3
1
9
5
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{A}&b\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{ccc|c}82&45&9&1\\27&16&3&1\\9&5&1&0\end{array}}\right)}
Po Cramerjevem pravilu dobimo rešitve sistema enačb:
x
1
=
det
(
A
1
)
det
(
A
)
=
|
1
45
9
1
16
3
0
5
1
|
|
82
45
9
27
16
3
9
5
1
|
=
1
1
=
1
{\displaystyle x_{1}={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}{1}&45&9\\1&16&3\\0&5&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{82}&45&9\\27&16&3\\9&5&1\end{vmatrix}}}={\frac {1}{1}}=1\qquad }
x
2
=
det
(
A
2
)
det
(
A
)
=
|
82
1
9
27
1
3
9
0
1
|
|
82
45
9
27
16
3
9
5
1
|
=
1
1
=
1
{\displaystyle x_{2}={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}{82}&1&9\\27&1&3\\9&0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{82}&45&9\\27&16&3\\9&5&1\end{vmatrix}}}={\frac {1}{1}}=1\qquad }
x
3
=
det
(
A
3
)
det
(
A
)
=
|
82
45
1
27
16
1
9
5
0
|
|
82
45
9
27
16
3
9
5
1
|
=
−
14
1
=
−
14
{\displaystyle x_{3}={\frac {\det(A_{3})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}{82}&45&1\\27&16&1\\9&5&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{82}&45&9\\27&16&3\\9&5&1\end{vmatrix}}}={\frac {-14}{1}}=-14}
Zunanje povezave
uredi
