Besslova funkcija
Besslove funkcije [béslove fúnkcije] (pogosteje Bésselove f.) so družina transcendentnih funkcij, ki rešijo Besslovo diferencialno enačbo:
Besslove funkcije je prvi definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Wilhelmu Besslu.
Uporabnost Besslovih funkcij uredi
Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov matematične fizike v valjasti ali krogelni geometriji, kot na primer:
- prevajanje toplote ali difuzija v valju
- nihanje krožno vpete tanke membrane (npr. pri bobnu)
- elekromagnetna valovanja v valjastem valovnem vodniku. V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot harmonične funkcije (sinus, kosinus) v pravokotni geometriji.
Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov uporabne matematike.
Besslove funkcije in uredi
Besslova funkcija prve vrste reda se izračuna kot:
Če ni celo število, funkciji in nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:
Kjer sta in odvisna od začetnih pogojev.
Če je celo število, se izkaže, da sta funkciji in linearno odvisni, saj velja:
V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda , ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:
V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni enaka: