Bernoullijeva lemniskata

Bernoullijeva lemniskata je ravninska krivulja, ki jo definirata dve dani točki $F_{1}\,$ in $F_{2}\,$, imenovani gorišči. Točki sta na razdalji $2a\,$, tako da je $PF_{1}\cdot PF_{2}=a^{2}\,$.

Bernoullijeva lemniskata in njeni dve gorišči.

Bernoullijeva lemniskata je nožiščna krivulja pravokotne hiperbole

Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju I. (1654 – 1705), ki jo je prvi opisal v letu 1694 kot modifikacijo elipse.

Enačbe Bernoullijeve lemniskate

Polarni koordinatni sistem

Enačba Bernoullijeve lemniskate v polarnem koordinatnem sistemu je:

$r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta \!\,.$

Kartezični koordinatni sistem

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Bernoullijeve lemniskate:

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})\!\,.$

Parametrična oblika enačbe

Parametrična oblika enačbe je:

$x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(t)}{\sin(t)^{2}+1}};\qquad y={\frac {a{\sqrt {2}}\cos(t)\sin(t)}{\sin(t)^{2}+1}}\!\,.$

Bipolarna oblika enačbe

Bipolarna oblika enačbe za Bernoullijevo lemniskato je:

$rr'=a^{2}\!\,.$

Odvodi

Za $y$ kot funkcijo $x$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ in }}x\neq 0\\\pm 1&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ in }}x=0\\{\frac {x(a^{2}-x^{2}-y^{2})}{y(a^{2}+x^{2}+y^{2})}}&{\mbox{kadar je }}y\neq 0\end{cases}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ and }}x\neq 0\\0&{\mbox{kadar je }}y=0{\mbox{ in }}x=0\\{\frac {3a^{6}(y^{2}-x^{2})}{y^{3}(a^{2}+2x^{2}+2y^{2})^{3}}}&{\mbox{kadar je }}y\neq 0\end{cases}}$

Za $x$ kot funkcijo $y$

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}2x^{2}+2y^{2}=a^{2}\\\pm 1&{\mbox{kadar je }}x=0{\mbox{ in }}y=0\\{\frac {y(a^{2}+2x^{2}+2y^{2})}{x(a^{2}-2x^{2}-2y^{2})}}&{\mbox{v ostalih primerih }}\end{cases}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} y^{2}}}={\begin{cases}{\mbox{neomejeno}}&{\mbox{kadar je }}2x^{2}+2y^{2}=a^{2}\\0&{\mbox{kadar je }}x=0{\mbox{ in }}y=0\\{\frac {3a^{6}(x^{2}-y^{2})}{x^{3}(a^{2}-2x^{2}-2y^{2})^{3}}}&{\mbox{v ostalih primerih}}\end{cases}}$

Ukrivljenost

Ko sta znana prva dva odvoda, ni težko določiti ukrivljenost Bernoullijeve lemniskate:

$\kappa =\pm 3(x^{2}+y^{2})^{1/2}a^{-2}\!\,,$

kjer je [[predznak]g izbran glede na smer gibanja vzdolž krivulje. Značilnost lemniskate je, da je velikost ukrivljenosti v vsaki njeni točki sorazmerna z razdaljo te točke od izhodišča.

Glej tudi

• Boothova lemniskata
• Geronova lemniskata
• lemniskatna eliptična funkcija
• Gaussova konstanta
• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Lemniscate«. MathWorld.
• Bernoullijeva lemniskata na The MacTutor History of Mathematics (angleško)
• Bernoullijeva lemniskata v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)
• Bernoullijeva lemniskata v National Curve Bank (angleško)